1 引例

给定如图所示的某个函数，如何计算函数零点 $x_0$？

在数学上我们如何处理这个问题？

最简单的办法是解方程 $f(x)=0$，在代数学上还有著名的零点判定定理

如果函数 $y= f(x)$在区间 $[a,b]$上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 $f(a)·f(b)<0$,那么函数 $y= f(x)$在区间 $(a,b)$内有零点，即至少存在一个 $c∈(a,b)$,使得 $f(c)=0$,这个 $c$也就是方程 $f(x)= 0$的根。

然而，数学上的方法并不一定适合工程应用，当函数形式复杂，例如出现超越函数形式；非解析形式，例如递推关系时，精确的方程解析一般难以进行，因为代数上还没发展出任意形式的求根公式。而零点判定定理求解效率也较低，需要不停试错。

因此，引入今天的主题——牛顿迭代法，服务于工程数值计算。

2 牛顿迭代算法求根

记第 $k$轮迭代后，自变量更新为 $x_k$，令目标函数 $f(x)$在 $x=x_k$泰勒展开：

$$f\left( x \right) =f\left( x_k \right) +f'\left( x_k \right) \left( x-x_k \right) +o(x)$$

我们希望下一次迭代到根点，忽略泰勒余项，令 $f(x_{k+1})=0$，则

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$

不断重复运算即可逼近根点。

在几何上，上面过程实际上是在做 $f(x)$在 $x=x_k$处的切线，并求切线的零点，在工程上称为局部线性化。如图所示，若 $x_k$在 $x_0$的左侧，那么下一次迭代方向向右。

若 $x_k$在 $x_0$的右侧，那么下一次迭代方向向左。

3 牛顿迭代优化

将优化问题转化为求目标函数一阶导数零点的问题，即可运用上面说的牛顿迭代法。

具体地，记第 $k$轮迭代后，自变量更新为 $x_k$，令目标函数 $f(x)$在 $x=x_k$泰勒展开：

$$f\left( x \right) =f\left( x_k \right) +f'\left( x_k \right) \left( x-x_k \right) +\frac{1}{2}f''\left( x_k \right) \left( x-x_k \right) ^2+o(x)$$

两边求导得

$$f'\left( x \right) =f'\left( x_k \right) +f''\left( x_k \right) \left( x-x_k \right)$$

令 $f'\left( x_{k+1} \right) =f'\left( x_k \right) +f''\left( x_k \right) \left( x_{k+1}-x_k \right) =0$，从而得到

$$x_{k+1}=x_k-\frac{f'\left( x_k \right)}{f''\left( x_k \right)}$$

对于向量 $\boldsymbol{x}=\left[ \begin{matrix} x_1& x_2& \cdots& x_d\\\end{matrix} \right] ^T$，将上述迭代公式推广为

$${\boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{x}_k-\left[ \nabla ^2f\left( \boldsymbol{x}_k \right) \right] ^{-1}\nabla f\left( \boldsymbol{x}_k \right) }$$

其中 $\nabla ^2f\left( \boldsymbol{x}_k \right)$是Hessian矩阵，当其正定时可以保证牛顿优化算法往 减小的方向迭代

牛顿法的特点如下：

① 以二阶速率向最优点收敛，迭代次数远小于梯度下降法，优化速度快；

梯度下降法的解析参考图文详解神秘的梯度下降算法原理(附Python代码)

②学习率为 $\left[ \nabla ^2f\left( \boldsymbol{x}_k \right) \right] ^{-1}$，包含更多函数本身的信息，迭代步长可实现自动调整，可视为自适应梯度下降算法；

③ 耗费CPU计算资源多，每次迭代需要计算一次Hessian矩阵，且无法保证Hessian矩阵可逆且正定，因而无法保证一定向最优点收敛。

在实际应用中，牛顿迭代法一般不能直接使用，会引入改进来规避其缺陷，称为拟牛顿算法簇，其中包含大量不同的算法变种，例如共轭梯度法、DFP算法等等，今后都会介绍到。

4 代码实战：Logistic回归

import pandas as pd
import numpy as np
import os
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
from Logit import Logit

'''
* @breif: 从CSV中加载指定数据
* @param[in]: file -> 文件名
* @param[in]: colName -> 要加载的列名
* @param[in]: mode -> 加载模式, set: 列名与该列数据组成的字典, df: df类型
* @retval: mode模式下的返回值
'''
def loadCsvData(file, colName, mode='df'):
    assert mode in ('set', 'df')
    df = pd.read_csv(file, encoding='utf-8-sig', usecols=colName)
    if mode == 'df':
        return df
    if mode == 'set':
        res = {}
        for col in colName:
            res[col] = df[col].values
        return res

if __name__ == '__main__':
    # ============================
    # 读取CSV数据
    # ============================
    csvPath = os.path.abspath(os.path.join(__file__, "../../data/dataset3.0alpha.csv"))
    dataX = loadCsvData(csvPath, ["含糖率", "密度"], 'df')
    dataY = loadCsvData(csvPath, ["好瓜"], 'df')
    label = np.array([
        1 if i == "是" else 0
        for i in list(map(lambda s: s.strip(), list(dataY['好瓜'])))
    ])

    # ============================
    # 绘制样本点
    # ============================
    line_x = np.array([np.min(dataX['密度']), np.max(dataX['密度'])])
    mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
    plt.title('对数几率回归模拟\nLogistic Regression Simulation')
    plt.xlabel('density')
    plt.ylabel('sugarRate')
    plt.scatter(dataX['密度'][label==0],
                dataX['含糖率'][label==0],
                marker='^',
                color='k',
                s=100,
                label='坏瓜')
    plt.scatter(dataX['密度'][label==1],
                dataX['含糖率'][label==1],
                marker='^',
                color='r',
                s=100,
                label='好瓜')

    # ============================
    # 实例化对数几率回归模型
    # ============================
    logit = Logit(dataX, label)

    # 采用牛顿迭代法
    logit.logitRegression(logit.newtomMethod)
    line_y = -logit.w[0, 0] / logit.w[1, 0] * line_x - logit.w[2, 0] / logit.w[1, 0]
    plt.plot(line_x, line_y, 'g-', label="牛顿迭代法")

    # 绘图
    plt.legend(loc='upper left')
    plt.show()

其中更新权重代码为

    '''
    * @breif: 牛顿迭代法更新权重
    * @param[in]: None
    * @retval: 优化参数的增量dw
    '''
    def newtomMethod(self):
        wTx = np.dot(self.w.T, self.X).reshape(-1, 1)
        p = Logit.sigmod(wTx)
        dw_1 = -self.X.dot(self.y - p)
        dw_2 = self.X.dot(np.diag((p * (1 - p)).reshape(self.N))).dot(self.X.T)
        dw = np.linalg.inv(dw_2).dot(dw_1)
        return dw

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