☆打卡算法☆LeetCode 51、N皇后 算法解析

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大家好，我是小魔龙，Unity3D软件工程师，VR、AR，虚拟仿真方向，不定时更新软件开发技巧，生活感悟，觉得有用记得一键三连哦。

一、题目

1、算法题目

“给定一个整数n，返回所有不同的N皇后问题的解决方案。”

题目链接：

来源：力扣（LeetCode）

链接：51. N 皇后 - 力扣（LeetCode） (leetcode-cn.com)

2、题目描述

n 皇后问题 研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给你一个整数 n ，返回所有不同的 n 皇后问题 的解决方案。

每一种解法包含一个不同的 n 皇后问题 的棋子放置方案，该方案中 ‘Q’ 和 ‘.’ 分别代表了皇后和空位。

示例 1：
输入：n = 4
输出：[[".Q..","...Q","Q...","..Q."],["..Q.","Q...","...Q",".Q.."]]
解释：如上图所示，4 皇后问题存在两个不同的解法。

示例 2：
输入： n = 1
输出： [["Q"]]

二、解题

1、思路分析

N皇后问题是一道经典的回溯问题。首先，分析规则，N皇后放置在N*N 棋盘上，然后皇后彼此之间不能相互攻击。

直接的做法是暴力枚举所以可能的情况，然后判断互相不攻击的情况，但是暴力枚举的时间复杂度非常高，必须利用限制条件进行优化。

可以通过回溯的方法找到可能的解，首先，使用一个数组记录每个每行皇后的列下标，依次在每一行放置一个皇后后，下一个放置皇后的位置都不能和已经放置皇后的位置之间有攻击，当所有皇后放置完毕，就可以找到一个解。

为了降低总时间复杂度，需要在放置皇后时快速判断每个位置是否可以放置皇后，那么就可以在O(1)的时间内判断该位置的列和两条斜线上是否已经有皇后。

2、代码实现

代码参考：

public class Solution {
    List<IList<string>> res;
    public IList<IList<string>> SolveNQueens(int n) {
        res = new List<IList<string>>();
        char[][] board = new char[n][];
        for (int i = 0; i < n; ++i) board[i] = new char[n];
        foreach (char[] chars in board){
            Array.Fill(chars, '.');
        }
        backTrack(board, 0);
        return res;
    }
    private void backTrack(char[][] board, int row){
        if (row == board.Length){
            res.Add(charToString(board));
            return;
        }
        int n = board[row].Length;
        for (int col = 0; col < n; ++col){
            if (!isValid(board, row, col)) continue;
            board[row][col] = 'Q';
            backTrack(board, row + 1);
            board[row][col] = '.';
        }
    }
    private bool isValid(char[][] board, int row, int col){
        int rows = board.Length;
        foreach (char[] chars in board) if (chars[col] == 'Q') return false;
        for (int i = row - 1, j = col + 1; i >= 0 && j < rows; i--, j++){
            if (board[i][j] == 'Q') return false;
        }
        for (int i = row - 1, j = col - 1; i >= 0 && j >= 0; i--, j--){
            if (board[i][j] == 'Q') return false;
        }
        return true;
    }
    private List<string> charToString(char[][] array){
        List<string> result = new List<string>();
        foreach (char[] chars in array) result.Add(new String(chars));
        return result;
    }
}

3、时间复杂度

时间复杂度 ： O(N!)

其中N是皇后数量。

空间复杂度： O(N)

其中N是皇后数量。

三、总结

这道题可以好好理解一下。

爱奇艺和字节的笔试都出现过这道题。