• 学号： 2021211127
• 院系：航天航空学院
• 姓名：薛 锋 丰

§01 前  言

  人工神经网络往往具有万能拟合器的作用，因此对于某些复杂的、难以用常规的数学手段进行建模的物体，都可采用神经网络对其进行建模。

  在航天领域当中，小天体就是这样一种难以建模的物体。不像大行星，小天体由于质量较小，因此其形状往往是不规则的，这就导致其周围的引力场是复杂的难以用常规的数学公式来表达。

  通常对于不规则小天体的引力场建模采用三种方法：球谐函数法，多面体法和质点群法。其中球谐函数法是将引力场按照球谐多项式展开，若小行星实际为匀质球体的话，其展开式就会只有一项 $-\frac{\mu r}{r^3}$ ，当其形状越不规则，展开的项就越多，这种方法常用于形状近似球形的大行星的引力场建模。多面体法则是将小天体表面分割成众多的小三角形，在假设内部质量均匀的情况下可以采用三重积分来求得外部某点的引力场强度。质点群法则是将小天体等价为众多质点小球的集合体，最终某点的引力强度实际上是这些质点群各自的引力之和。

  以上的各种方法都很经典也各自有其特定的优势。球谐函数法往往计算量最小，当对于极度不规则的小天体却无能为力；多面体法可以通过观察其形状来进行建模，但采用了内部质量均匀的假设且计算量较大；质点群法理论上有最高的精度，但建模较为困难同样存在计算量大的劣势。

  在实际工程当中往往会存在这样的困境，面对不规则小天体往往缺乏数据来进行建模（因为当离小天体较远时，其引力场近乎等价于球形引力场，在不能近距离测量时，只靠观察其形状来建模往往精度不够高）或者即使建立了精确的模型但每次计算引力的计算开销过大，不满足工程需要。此时人工神经网络就可以大有用途：在无法近距离测量其实际引力时，可以先观察其形状然后采用多面体法或质点群法建立起初步的引力场模型，用神经网络先对此引力场进行拟合。当航天器可以近距离采集引力数据时，用采集的数据再对此神经网络进行训练，不断对其进行修正，当采集的数据足够多时，此神经网络就可以达到十分高的精度。这样做的好处是可以建立起高精度的引力场模型，且通过神经网络来获得引力数据的计算量也较小，工程性较强。

§02 小天体建模

  本报告中所采用的小天体为葫芦状的天体，具体形状如图1所示。此小天体可以看作是中心分别为[-0.4;0;0]和[0.4;0;0]，半径均为0.6的两个球的并集所构成的空间集合体。为了描述此小天体的引力场，采用了总计13257个质量均为1的质点小球（见图一中的各*点）的引力场来合成表达（在本研究中万有引力常数G取为1），后文中均称此引力场为真实引力场。

§03 建立神经网络

  显然为了描述这样的一种引力场，需要一个三输入、三输出神经网络。其中三个输入为位置坐标的三个分量，三个输出为对应的引力加速度的三个分量。实际上考虑到引力加速度有随距离平方衰减的特性（对于球形天体而言是严格平方衰减，对于本题的模型是近似满足），因此为了使拟合的效果更好一些，神经网络的实际输出是引力加速度乘以离小天体中心的距离的平方。

  在离小天体中心距离为1.5-4的球壳范围空间内随机采取60000个样本点用于神经网络训练，拟合采用的工具为Matlab中的神经网络拟合工具箱，神经网络结构如图2所示。

  可见此网络结构较为简单，只有一个隐层，隐层神经元数目设置为30个，因此最终的精度可能不是太高，在实际工程应用中可以构建层数更多的神经网络来提升精度，本报告只是通过这一实例展示这一方案的可行性。

§04 网络模型评价

  经过训练后最终得到了目标神经网络，但这样的神经网络效果究竟如何，需要对其进行评价。

  采用常规的MSE的评价对于此问题来说可能并不直观，因此本报告采用以下两种方式进行展示。

（1） 特定曲线上的加速度对比

  这种方案是设计一条空间曲线，对比这条空间曲线上各点的加速度，构造的空间曲线如图3所示。其中曲线上各点至天体中心的距离在1.9-2.1间周期变化。

  为了能更好地展现神经网络的结果，用真实引力场和球形引力场作为对比，对比图见图4所示。其中各图的横坐标为构造曲线的参数方程的参数，代表此时位于曲线的位置。

  观察图4可知，从加速度的三个方向分量来看，几种模型的区别不大，神经网络所输出的加速度分量相比较球形公式的结果更精确些；从加速度的模值来看，明显神经网络的输出效果要比球形公式要好。可见这样的得到的神经网络的确在一定程度上可以拟合真实引力场。

（2） 不同模型下的轨迹预测对比

  对小天体的引力场进行建模的目的在于服务小天体探测器的轨迹设计，通常在设计轨迹时需要对未来的飞行轨迹进行预测，模型精度越高，可以预测的轨迹长度就越长。若给定某探测器（忽略质量）以特定初始速度，使其只在小天体引力作用下自由飞行，便得到一条轨迹。基于此，本报告采用数值积分的方式来对比不同模型下的飞行轨迹，结果如图5所示。

  可见，本报告中建立的神经网络引力场模型相比较球形模型，对未来轨迹的预测能力更强，这从侧面也反映了此神经网络的拟合效果还不错。

※ 总  结 ※

  本报告通过用人工神经网络来拟合葫芦形小天体引力场，其效果要好于球形模型，这证明了这种方案的可行性。由于神经网络的层数较少，因此精度也不算太高，若需提高精度可以增加神经网络层数来重新训练，可以设想只要神经网络设计合理，其可以很好地刻画真实引力场环境。

● 相关图表链接:

• 图2.1 小天体示意图
• 图3.1 神经网络结构示意图
• 图4.1.1 测试轨迹线
• 图4.1.2 不同引力场下的加速度展示图
• 不同模型下的轨迹预测模型轨迹

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