简 介：

关键词： 矩阵，分解，QR

§01 矩阵的迹

1.1 定义

• 参考文献： Trace of a matrix

  对于方形矩阵 $A$ 是一个 $K\times K$ 的矩阵，它的迹，记为 $trace\left(A\right)$ ，或者 $tr\left(A\right)$ 定义为矩阵对角线元素累加和： $tr\left(A\right)=\sum _{k=1}^K{A}_{kk}$ 。

  例如下面的矩阵： A = [ 2 1 5 2 3 4 0 1 0 ] A =

1.2 性质

$$tr\left(A+B\right)=tr\left(A\right)+tr\left(B\right)$$
$$tr\left(aA\right)=a\cdot tr\left(A\right)$$
$$tr\left(\alpha A+\beta B\right)=\alpha \cdot tr\left(A\right)+\beta \cdot tr\left(B\right)$$
$$tr\left(A^T\right)=tr\left(A\right)$$
$$tr\left(AB\right)=tr\left(BA\right)$$
$$AB=tr\left(AB\right)=tr\left(BA\right)$$

1.3 相关函数

1.3.1 调用函数形式

import sys,os,math,time
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *

A = array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
print("trace(A): {}\n".format(trace(A)))

  

 

  
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trace(A): 15

  

 

  
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1.3.2 利用迹计算两个矩阵的内积

import sys,os,math,time
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *

A = random.randn(15,8)
B = random.randn(15,8)

C = A.T.dot(B)
print("trace(C): {}\n".format(trace(C)))
print("sum(A*B): {}\n".format(sum(A*B)))

  

 

  
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10
 

trace(C): -9.301644996885578
sum(A*B): -9.301644996885576

  

 

  
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2
 

§02 QR分解

2.1 定义

  对于矩阵 A，可以将其表示成： $A=Q\cdot R$ 。其中 $Q$ 是正交矩阵， $R$ 是上三角矩阵。

2.2 分解举例

  分解一个5×3随机矩阵。

import sys,os,math,time
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import *

A = random.randn(5,3)
print("A: {}\n".format(A))
q,r = linalg.qr(A)
print("q: {}\n".format(q),"r: {}\n".format(r))

  

 

  
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A: [[-1.86374906 -1.14492839  0.25085956]
[ 0.84097176  0.47786409  0.63319386]
[-1.2215861  -0.84129822 -0.68549399]
[ 0.14952506 -1.41793941 -0.28392431]
[-0.7815916  -1.56835016 -0.23617405]]
q: [[-0.74216383  0.11278664  0.58823716]
[ 0.33488351 -0.07192668  0.58284231]
[-0.48644801  0.02461369 -0.55319958]
[ 0.0595424  -0.8284496  -0.04030384]
[-0.31123773 -0.54329656  0.08134932]]
r: [[2.51123671 1.82270331 0.41592522]
[0.         1.84255932 0.32940707]
[0.         0.         0.88806271]]

  

 

  
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  可以验证 q 矩阵是正交矩阵：

print("q.T.dot(q): {}\n".format(q.T.dot(q)))

  

 

  
1
 

q.T.dot(q): [[1.00000000e+00 3.84861072e-17 2.96333633e-16]
[3.84861072e-17 1.00000000e+00 8.91050746e-17]
[2.96333633e-16 8.91050746e-17 1.00000000e+00]]

  

 

  
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§03 特殊矩阵

3.1 空矩阵

n = empty((5,5))
print("n: {}\n".format(n))

  

 

  
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2
 

n: [[3.42247464e-316 3.42249708e-316 3.42250182e-316 3.06800300e-316
3.42251605e-316]
[3.42252079e-316 3.42252553e-316 3.42253028e-316 3.42253502e-316
3.06797454e-316]
[3.42253976e-316 3.42254925e-316 3.42250656e-316 3.42251130e-316
3.42248759e-316]
[3.06797928e-316 3.06800774e-316 3.06799351e-316 3.06798403e-316
3.06798877e-316]
[3.06794608e-316 3.06796505e-316 3.06796980e-316 3.42254451e-316
1.04878799e+248]]

  

 

  
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3.2 零矩阵

n = zeros((5,5))
print("n: {}\n".format(n))

  

 

  
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n: [[0. 0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0. 0.]
[0. 0. 0. 0. 0.]]

  

 

  
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3.3 1矩阵

n = ones((5,5))
print("n: {}\n".format(n))

  

 

  
1
  
2
 

n: [[1. 1. 1. 1. 1.]
[1. 1. 1. 1. 1.]
[1. 1. 1. 1. 1.]
[1. 1. 1. 1. 1.]
[1. 1. 1. 1. 1.]]

  

 

  
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3.4 对角线矩阵

n = eye(3,4,0)
print("n:\n{}".format(n))

  

 

  
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2
 

n:
[[1. 0. 0. 0.]
[0. 1. 0. 0.]
[0. 0. 1. 0.]]

  

 

  
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n = eye(3,4,1)
print("n:\n{}".format(n))

  

 

  
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2
 

n:
[[0. 1. 0. 0.]
[0. 0. 1. 0.]
[0. 0. 0. 1.]]

  

 

  
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4
 

n = eye(3,4,-1)
print("n:\n{}".format(n))

  

 

  
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2
 

n = diag([1,2,3,4])
print("n:\n{}".format(n))

  

 

  
1
  
2
 

n:
[[1 0 0 0]
[0 2 0 0]
[0 0 3 0]
[0 0 0 4]]

  

 

  
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3.5 随机矩阵

n = random.random((5,4))
print("n:\n{}".format(n))

  

 

  
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2
 

n:
[[0.01356284 0.90473283 0.97940574 0.28104009]
[0.47466198 0.27617192 0.74221122 0.20462867]
[0.34521728 0.46786105 0.24819072 0.71578562]
[0.51775933 0.51530835 0.06254809 0.92659839]
[0.30551515 0.60956763 0.43818475 0.31937707]]

  

 

  
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■ 相关文献链接:

• Trace of a matrix

● 相关图表链接:

• 图3.4.1 Matrix Diagnoal

文章来源: zhuoqing.blog.csdn.net，作者：卓晴，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/122531852