在 今年期末微积分考试试题：看看你能够在两个小时内做对几道题？ 搜集到了一份期末微积分考试试题。为了对其内容进行进一步分析，对其内容进行整理如下。

§01 填空题

每个空3分，共10题

1. 求解常微分方程通解

$$y^{\prime }=1+2x+y^2+2x{y}^2$$

2. 求解常微分方程通解

$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=2$$

3. 求解级数极限

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{n+3k}$$

4. 定积分求解

$${\int }_0^2\left|1-x\right|dx$$

5. 求函数高阶导数

$$f\left(x\right)=\sin \left(x^3\right),f^{\left(15\right)}\left(0\right)=?$$

6. 求解积分函数导数

$$\frac{d}{dx}{\int }_{x^2}^{x^3}\frac{\sin t}{t}dt$$

7. 定积分求解

$${\int }_0^{\pi }x\cdot {\left(\sin x\right)}^{2}dx$$

8. 求解微分方程解

  常微分方程 $y^{\prime }+y=e^{-x}$满足 $y\left(0\right)=0$的解$y=y\left(x\right)$的拐点的横坐标为        。

9. 求解曲线弧长

  求解下面曲线段的弧长：

$$y=2x^{\frac{3}{2}},\left(0\le x\le 1\right)$$

10. 分析级数无穷小阶次

  设当 $x\to 0$时，下面函数为 $p$阶无穷小，则 $p=$        。

$${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\frac{1}{3}}-e^{-\frac{x^2}{3}}$$

§02 解答题

共8题，写出详细的计算过程和必要的根据！

11. （10分）

  讨论 $p$ 取何值时，下面广义积分是收敛的。$${\int }_0^{+\infty }\frac{x^p\ln x}{{\left(1+x^2\right)}^2}dx$$

12.（10分）

  求数列$\left\{n^{1/n}\right\},\left(n=1,2,3\cdots \right)$的最大项的值。

13. （13分）

  函数 f ( x ) = { e 1 x ,    x ≠ 0 0 ,      x = 0 f\left( x \right) = \left\{

e1x,x≠00,x=0 $$\begin{array}{c}{e}^{\frac{1}{x}},x\ne 0\\ 0,x=0\end{array}$$

\right. f(x)={ex1​,x​=00,x=0​  讨论函数 $f\left(x\right)$的连续性，并求 $f\left(x\right)$的单调区间、极值点与极值、凸性区间、拐点和渐进线。

14. （12分）

  设曲线段 $\Gamma$ 为圆心在点（0,1）的单位圆周位于正方形 $0\le x\le 1,0\le y\le 1$的部分，平面区域 $D$为由 $\Gamma$，$x$轴以及直线 $x=1$ 围城的有界区域。

  （I） 求区域 $D$ 饶 $x$轴旋转一周所产生的旋转体体积；
  （II）求曲线段 $\Gamma$ 绕 $x$ 轴旋转一周所产生的旋转面面积；

15. （10分）

  求常微分方程的初值问题的解 （$x<1$）。

{ 1 + ( y ′ ) 2 = ( 1 − x ) ⋅ y ′ ′ y ( 0 ) = 0                              y ′ ( 0 ) = 0                              \left\{

1+(y′)2−−−−−−−√=(1−x)⋅y′′y(0)=0y′(0)=0 $$\begin{array}{c}1+{\left(y^{\prime }\right)}^2=\left(1-x\right)\cdot y^{″}\\ y\left(0\right)=0\\ y^{\prime }\left(0\right)=0\end{array}$$

\right. ⎩⎪⎨⎪⎧​1+(y′)2 ​=(1−x)⋅y′′y(0)=0y′(0)=0​

16. （5分）

  设 $f\in C\left(0,+\infty \right)$， 并且 $\forall a>0,b>1$，都有积分${\int }_a^{ab}f\left(x\right)dx$ 与 $a$ 无关。
  求证：存在常熟 $C$，使得 $$f\left(x\right)=\frac{C}{x},x\in \left(0,+\infty \right)$$

17. （5分）

  设 $f\left(x\right)$在 $\left[0,1\right]$ 上非负连续， 且满足 ：$$f^2\left(x\right)\le 1+2{\int }_0^{x}f\left(t\right)dt,x\in \left[0,1\right]$$  证明：$$f\left(x\right)\le 1+x,x\in \left[0,1\right]$$

18. （5分）

  设：$p\left(x\right)=x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 为式系数 $n$ 次多项式。若 $p\left(x\right)\ge 0,x\in \left(-\infty ,+\infty \right)$
  证明：$p\left(x\right)+p^{\prime }\left(x\right)+\cdots +p^{\left(n\right)}\left(x\right)\ge 0,x\in \left(-\infty ,+\infty \right)$
  这里 $p^{\prime }\left(x\right),p^{\prime \prime }\left(x\right),\cdots ,p^{\left(n\right)}\left(x\right)$表示 $p\left(x\right)$的一阶、二阶以及 $n$阶导数。

§03 附加题

本题全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判（A+）

1. 附加题内容

  设 $h>0$， $f\left(x\right)$为闭区间$\left[-h,h\right]$上的无穷可导函数，且 $\forall x\in \left[0,h\right]$，以及任意的非负整数 $n$，都有 $f^{\left(n\right)}\left(x\right)\ge 0$。 记 $$r_n\left(x\right)=\frac{1}{n!}{\int }_0^x{\left(x-t\right)}^n{f}^{\left(n+1\right)}\left(t\right)dt$$  求证：$\forall x\in \left(0,h\right)$，均有$\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n\left(x\right)=0$

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