动态规划基础知识

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问题模型

动态规划一般是用来解决最优解问题，而在解决的过程中是需要经历多个阶段的决策，每个阶段都会对应一组状态。我们需要找到一组决策，经过这些决策后，能求出问题的最优解。我们把这类问题抽象成“多阶段决策最优模型”。

动态规划具有三大特征，分别是最优子结构、无后效性和重复子问题，只有当原问题满足这三大特征时，我们才能使用动态规划的算法思想来解决。下面我们来分别看一下这三个特征。

• 最优子结构

  最优子结构规定了原问题和子问题的关系。原问题的最优解包含子问题的最优解。反过来说，我们可以通过子问题的最优解来求出原问题的最优解。

• 无后效性

  （1）无后效性是指在推导后面阶段状态的时候，只依赖于前面阶段的的状态，而不会去关心这个状态是怎么一步步得来的。比如斐波那契数列 F(5)=F(4)+F(3)，则可以看出 F(5) 只依赖于 F(4) 和 F(3) 这两个状态的值，而不用管他们是如何得来的。

  （2）一旦某个状态确定了，就不受之后阶段的决策影响。

• 重复子问题

  就是原问题经过拆分成多个子问题时，子问题和子问题之间存在重复计算的情况。

下面我们结合实例，来比较透彻的理解一下上面的理论部分。

问题描述：

我们假设有一个 n*n 的矩阵 w[n] [n]（矩阵中存储正整数）。棋子从矩阵的左上角开始移动到矩阵的右下角。棋子每次只能向下或者向右移动一步。棋子可以有很多不同的路径走完这个矩阵。我们把每条路径经过的数字相加作为路径长度，那最短的路径长度是多少呢？

我们从 start 开始走，一直走到 end 的位置，一共需要走 2 * (n-1) 步，也就对应着 2 * (n-1) 个阶段，每个阶段都有向下走和向右走两种决策，不同的决策对应着不同的状态。所以这符合多阶段决策，而最后求解的是最短路径长度，所以符合动态规划的问题模型。

接下来我们看它是否符合动态规划的三个特征呢？如下所示，从（0，0）位置走到（1，1）位置有两种走法，所以符合重复子问题。

下面我们再来看一下无后效性这个特征。我们要想走到（i，j）这个位置，我们只能通过（i-1，j）和（i，j-1）这两个位置移动过来，也就是说，我们只需要关心（i-1，j）和（i，j-1）这两个位置的状态，而不必关系是如何从（0，0）位置走到这个位置的。而且，我们这里只允许向下或者向右走，不允许后退，所以前面阶段的状态确定之后，就不会被后面阶段的决策所改变。所以这个问题是符合“无后效性”这个特征的。

我们把从（0，0）位置走到（i，j）位置的最短路径记为为 min(i，j)，因为我们只能向下或者向右移动，所以我们只能从（i-1，j）和（i，j-1）两个位置到达（i，j）。换句话说，就是 min(i，j) 只能通过 min(i-1，j) 和 min(i，j-1) 两个状态推导出来。所以这个问题就符合“最优子结构”。

min(i,j) = w[i][j] + min(min(i-1,j), min(i,j-1))

所以这个问题是符合动态规划问题模型的，所以我们可以采用动态规划思想来解决这个问题。

求解思路

解决动态规划问题，一般有状态转移表法和状态转移方程法这两种方法。

1. 状态转移表法

我们先定义一个状态表，一般状态表都是二维的。我们根据决策的先后顺序，从前往后，根据递归关系，分阶段的填充状态表中的每个状态。最后，我们把递归填表的过程翻译成代码就完成了。

接下来我们来看一下如何用状态转移表法来求最短路径这个问题的。

首先创建一个二维数组，表中的行、列表示棋子所在的位置，表中的数值表示从起点到这个位置的最短路径。然后，我们按照决策过程依次去填表，前两步的走法如下图所示：

代码实现如下所示：

def minDis(data,n):
    status=[[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]
    sum=0
    #第一行赋值
    for i in range(n):
         sum=sum+data[0][i]
         status[0][i]=sum
    #第一列赋值
    sum=0
    for i in range(n):
         sum=sum+data[i][0]
         status[i][0]=sum
    for i in range(1,n):
         for j in range(1,n):
              status[i][j]=data[i][j]+min(status[i-1][j],status[i][j-1])
    return status[n-1][n-1]


data=[[1,3,5,7,2],
      [3,6,5,2,1],
      [7,4,1,6,5],
      [1,3,8,2,3],
      [4,3,1,6,4]]
n=5
print(minDis(data,n))

2. 状态转移方程法

状态转移方程法和递归的解题思路类似。我们根据最优子结构，写出递推公式，也就是所谓的状态转移方程。然后根据状态转移方程，实现代码就好了。这里一般有两种实现方法，一种是递归加备忘录方法，另一种是迭代递推。

对于最短路径这个例子，它的状态转移方程如下所示：

min(i,j) = w[i][j] + min(min(i-1,j), min(i,j-1))

我们这里采用递归加备忘录的方法来实现，另一种迭代递推的实现和状态转移表法的代码实现是一致的，只是思路不同而已。

import sys
data=[[1,3,5,7,2],
      [3,6,5,2,1],
      [7,4,1,6,5],
      [1,3,8,2,3],
      [4,3,1,6,4]]
n=5
mem=[[0 for _ in range(5)] for _ in range(5)]
def minDis(i,j):
    if i==0 and j==0:
        return data[0][0]
    if mem[i][j]>0:
        return mem[i][j]
    minLeft = sys.maxsize
    if j-1>=0:
        minLeft=minDis(i,j-1)
    minUp = sys.maxsize
    if i-1>=0:
        minUp=minDis(i-1,j)
    current=data[i][j]+min(minLeft,minUp)
    mem[i][j]=current
    return current

print(minDis(n-1,n-1))