一、回文串、子串、子序列

" 回文串 ( Palindrome ) " 是 正反都一样的字符串 , abccba , 001100 等字符串 ;

给定一个字符串 " abcd " ,

" 子串 ( SubString ) "是连续取的子字符串 , 如 : “ab” , “bc” , “cd” , “bcd” 等 , 不能跳跃字符 ; ( 连续字符 )

$n$ 个字符串的子串个数是 $\frac{n(n+1)}{2}+1$ 个 ;

" 子序列 ( SubSequence ) " 是可以非连续取字符串中的字符 , 前后顺序不允许颠倒 , 如 “ad” , “bd” , “acd” 等 ; ( 非连续字符 )

$n$ 个字符串的子串个数是 $2^n$ 个 ( 集合的子集数 ) ;

验证一个字符串是否是回文串 , 最坏的情况下需要遍历 $\frac{n}{2}$ 次 ;

因此最暴力的方法验证回文子串 , 就是验证 $\frac{n(n+1)}{2}+1$ 个子字符串是否是回文串 , 每次都要遍历 $\frac{n}{2}$ 次 ;
暴力算法的时间复杂度是 $O(n^3)$ ;

二、最长回文子串

问题链接 : https://www.lintcode.com/problem/200/description

给出一个字符串（假设长度最长为1000），求出它的最长回文子串，你可以假定只有一个满足条件的最长回文串。

1、动态规划算法

如果不使用中心线枚举算法 , 在蛮力算法的基础上 , 快速判定字符串是否是回文串 ;
使用基于动态规划的算法可以实现上述要求 ;

回文串存在特点 :
两种类型的回文串 “abba” , “abcba” , 正序 和 倒序 是一样的 ;
回文串两头的字符相等 ;
回文串除去两头的两个字符 , 中间部分也是回文串 ;

字符串中 $i$ ~ $j$ 之间的字符串是回文串 ;

• 则 $i,j$ 字符相等 ,
• 并且 $i+1$ ~ $j-1$ 的字符串也是回文串 ;

$i$ ~ $j$ 之间的字符串是否是回文串 , 依赖于 $i+1$ ~ $j-1$ 之间的字符串是否是回文串 ;
因此推导任意两个索引区间 $i,j$ 之间的字符串是否是回文串时 ,

将 $i,j$ 之间的字符串是否是回文串 , 存储在一个二维布尔数组中 ;

// 表示 n 个字符串中所有的字符索引之间是否是回文串 
boolean [][] isPalindrome = new boolean[n][n];

  

 

  
1
  
2
 

isPalindrome[i][j] 表示 $i$ ~ $j$ 之间的字符串是否是回文串 , 如果是回文串则设置为 true , 如果不是回文串则设置为 false ;

回文串判定条件 :

isPalindrome[i][j] = isPalindrome[i + 1][j - 1] && s.charAt(i) == s.charAt(j);

  

 

  
1
 

$i$ ~ $j$ 之间的字符串是回文串 , 则 $i+1$ ~ $j-1$ 之间的字符串也是回文串 , 并且第 $i$ 个字符等于第 $j$ 个字符 ;

动态规划 :

这种推导公式在 动态规划 中 , 称为 状态转移方程 ;

isPalindrome 二维数组中每个元素都是一个 状态 , 这个状态是以区间作为状态的标志 , 两个维度的值分别是区间的开始索引和结束索引 ;

这种类型的动态规划 , 又称为 区间型动态规划 ;

循环设计 :

$i$ ~ $j$ 之间的字符串是否是回文串 , 依赖于 $i+1$ ~ $j-1$ 之间的字符串是否是回文串 ;

也就是 $i$ 依赖于 $i+1$ , 循环时 , 不能正向循环 , 只能倒序循环 ;

先计算 $i$ 比较大的 , 再计算 $i$ 比较小的 ;

初始化操作 : 动态规划中初始化很重要 ;

这里要考虑公式的适用性 , 上述公式

isPalindrome[i][j] = isPalindrome[i + 1][j - 1] && s.charAt(i) == s.charAt(j);

  

 

  
1
 

公式中使用了 $i+1$ , $j-1$ , 为了保证公式成立 , 字符串的字符个数至少要有 $2$ 个 ;

初始化时最好将空字符串 , $1$ 个字符组成的字符串 的情况直接初始化赋值 ;

初始化单个字符字符串的状态 :

isPalindrome[i][i] 是第 $i$ 个字符到第 $i$ 个字符之间的单个字符是否是回文串 , 显然单个字符是回文串 ;

isPalindrome[i][i] = true

  

 

  
1
 

2、动态规划算法代码示例

代码示例 :

class Solution {
    /**
     * @param s: 输入字符串
     * @return: 返回最长回文子串
     */
    public String longestPalindrome(String s) {
        if (s == null || "".equals(s)) {
            return null;
        }

        int n = s.length();
        boolean[][] isPalindrome = new boolean[n][n];
        int longest = 1;    // 最长长度
        int start = 0;      // 开始索引

        // 初始化操作, 长度为 1 的回文串
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            isPalindrome[i][i] = true;
        }

		// 初始化操作, 长度为 2 的回文串
        for (int i = 0; i < n - 1; i ++) {
            if (s.charAt(i) == s.charAt(i + 1)) {
                isPalindrome[i][i + 1] = true;
                start = i;
                longest = 2;
            }else {
                isPalindrome[i][i + 1] = false;
            }
        }

		// 倒序遍历
        for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        	// 从 i + 2 开始计算 , 之前 i , i + 1 都已经计算过了 , 从长度为 3 的区间开始计算
        	// 注意此处如果 j >= n 时 , 不进入内层循环 
        	// 只有在 j <= n - 1 时 , 才进入内层循环 
            for (int j = i + 2; j < n; j ++) {
                isPalindrome[i][j] = isPalindrome[i + 1][j - 1] && s.charAt(i) == s.charAt(j);

                if (isPalindrome[i][j] && j - i + 1 > longest) {
                    start = i;
                    longest = j - i + 1;
                }
            }
        }

        return s.substring(start, start + longest);
    }
}

class Main {
    public static void main(String[] args) {
        String palindrome = new Solution().longestPalindrome("mabcban");
        System.out.println(palindrome);
    }
}


  

 

  
1
  
2
  
3
  
4
  
5
  
6
  
7
  
8
  
9
  
10
  
11
  
12
  
13
  
14
  
15
  
16
  
17
  
18
  
19
  
20
  
21
  
22
  
23
  
24
  
25
  
26
  
27
  
28
  
29
  
30
  
31
  
32
  
33
  
34
  
35
  
36
  
37
  
38
  
39
  
40
  
41
  
42
  
43
  
44
  
45
  
46
  
47
  
48
  
49
  
50
  
51
  
52
  
53
  
54
  
55
  
56
  
57
 

$O(n^2)$ 时间复杂度算法;

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：hanshuliang.blog.csdn.net/article/details/118965198