【组合数学】指数生成函数 ( 指数生成函数性质 | 指数生成函数求解多重集排列 )
参考博客 : 按照顺序看
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一、指数生成函数性质
两个数列 { a n } , { b n } \{a_n\} , \{b_n\} {an},{bn} 对应的指数生成函数分别是 A e ( x ) , B e ( x ) A_e(x) , B_e(x) Ae(x),Be(x) ,
将上述两个 指数生成函数 相乘 , 看做一个函数 , 可以展开成另外一个数列的级数形式 ,
A e ( x ) ⋅ B e ( x ) = ∑ n = 0 ∞ c n x n n ! A_e(x) \cdot B_e(x) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} c_n \cfrac{x^n}{n!} Ae(x)⋅Be(x)=n=0∑∞cnn!xn
其中 , c n = ∑ k = 0 ∞ ( n k ) a k b n − k c_n =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dbinom{n}{k}a_kb_{n-k} cn=k=0∑∞(kn)akbn−k
( 代入即可求出该结果 )
二、指数生成函数求解多重集排列
多重集 S = { n 1 ⋅ a 1 , n 2 ⋅ a 2 , ⋯ , n k ⋅ a k } S=\{ n_1 \cdot a_1 , n_2 \cdot a_2 , \cdots , n_k \cdot a_k \} S={n1⋅a1,n2⋅a2,⋯,nk⋅ak}
多重集 S S S 的 r r r 排列数 组成数列 { a r } \{ a_r \} {ar} , 对应的指数生成函数是 :
G e ( x ) = f n 1 ( x ) f n 2 ( x ) ⋯ f n k ( x ) G_e(x) = f_{n_1}(x) f_{n_2}(x) \cdots f_{n_k}(x) Ge(x)=fn1(x)fn2(x)⋯fnk(x) ★
其中每个生成函数项 f n i ( x ) f_{n_i}(x) fni(x) 是
f n i ( x ) = 1 + x + x 2 2 ! + ⋯ + x n i n i ! f_{n_i}(x) = 1 + x + \cfrac{x^2}{2!} + \cdots + \cfrac{x^{n_i}}{n_i!} fni(x)=1+x+2!x2+⋯+ni!xni ★
将 G e ( x ) G_e(x) Ge(x) 展开 , 其中的 x r r ! \cfrac{x^r}{r!} r!xr 的系数就是多重集的排列数 , 特别注意如果不是 x r r ! \cfrac{x^r}{r!} r!xr 形式 , 需要强制转化成上述性质 , 一定要除以 r ! r! r! ; ★★★★★
选取问题参考 :
n n n 元集 S S S , 从 S S S 集合中选取 r r r 个元素 ;
根据 元素是否允许重复 , 选取过程是否有序 , 将选取问题分为四个子类型 :
| 元素不重复 | 元素可以重复 | |
|---|---|---|
| 有序选取 | 集合排列 P ( n , r ) P(n,r) P(n,r) | 多重集排列 |
| 无序选取 | 集合组合 C ( n , r ) C(n,r) C(n,r) | 多重集组合 |
选取问题中 :
- 不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列 ; P ( n , r ) = n ! ( n − r ) ! P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!} P(n,r)=(n−r)!n!
- 不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合 ; C ( n , r ) = P ( n , r ) r ! = n ! r ! ( n − r ) ! C(n,r) = \dfrac{P(n,r)}{r!} = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} C(n,r)=r!P(n,r)=r!(n−r)!n!
- 可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列 ; 全 排 列 = n ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n k ! 全排列 = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!} 全排列=n1!n2!⋯nk!n! , 非全排列 k r , r ≤ n i k^r , \ \ r\leq n_i kr, r≤ni
- 可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合 ; N = C ( k + r − 1 , r ) N= C(k + r - 1, r) N=C(k+r−1,r)
文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。
原文链接：hanshuliang.blog.csdn.net/article/details/109381456
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