参考博客 :

• 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
• 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )

一、生成函数求和性质 1 ( 向前求和 )

生成函数求和性质 1 :

$b_n=\sum _{i=0}^n{a}_i$ , 则 $B(x)=\frac{A(x)}{1-x}$

数列 $a_n$ 的生成函数是 $A(x)$ , 数列 $b_n$ 的生成函数是 $B(x)$ ,

数列 $a_n=\{a_0,a_1,a_2,\cdots \}$ , 数列 $b_n=\{b_0,b_1,b_2,\cdots \}$ ;

数列 $a_n$ 的生成函数 $A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$

数列 $b_n$ 的生成函数 $B(x)=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots$

$b_n$ 数列中的第 $n$ 项 , 等于 $a_n$ 数列中的前 $n$ 项的和 ;

推导 $b_n$ 数列的项 :

$b_0=a_0$

$b_1=a_0+a_1$

$b_2=a_0+a_1+a_2$

$⋮$

$b_n=a_0+a_1+a_2+\cdots +a_n$

推导生成函数的项 :

$B(x)$ 中的$x^0$ 项 ( 常数项 ) : $b_0=a_0$

$B(x)$ 中的$x^1$ 项 ( 常数项 ) : $b_{1}x=(a_0+a_1)x$

$B(x)$ 中的$x^2$ 项 ( 常数项 ) : $b_2{x}^2=(a_0+a_1+a_2)x^2$

$⋮$

$B(x)$ 中的$x^n$ 项 ( 常数项 ) : $b_n{x}^n=(a_0+a_1+a_2+\cdots +a_n)x^n$

将上述 $B(x)$ 中的各项相加 : 相加的策略是纵向相加 , 如下图所示 :

第 $1$ 列相加 : $a_0+a_{0}x+a_0{x}^2+\cdots +a_0{x}^n=a_0\frac{1}{1-x}$

第 $2$ 列相加 : $a_{1}x+a_1{x}^2+\cdots +a_1{x}^n=a_{1}x\frac{1}{1-x}$

$⋮$

第 $n$ 列相加 : $a_n{x}^n=a_n{x}^n\frac{1}{1-x}$

最终得到 :

$B(x)=a_0\frac{1}{1-x}+a_{1}x\frac{1}{1-x}+\cdots +a_n{x}^n\frac{1}{1-x}+\cdots$

将其中的 $\frac{1}{1-x}$ 提取出来 , 就可以得到 :

$B(x)=\frac{1}{1-x}(a_0+a_{1}x++\cdots +a_n{x}^n+\cdots )$

$B(x)=\frac{1}{1-x}A(x)$

二、生成函数求和性质 2 ( 向后求和 )

生成函数求和性质 2 :

$b_n=\sum _{i=n}^{\infty }{a}_i$ , 并且 $A(1)=\sum _{i=n}^{\infty }{a}_i$ 收敛 , 则 $B(x)=\frac{A(1)-xA(x)}{1-x}$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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