一、常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式

如果 “常系数线性非齐次递推方程” 的非齐次部分 , 是 $n$ 的 $t$ 次多项式 , 与 ${\beta }^n$ 的指数 , 的组合 ;

那么其特解的形式 , 是 $n$ 的 $t$ 次多项式 , 与 $P{\beta }^n$ 的 和 ;

递推方程 : $a_n-2a_{n-1}=n+3^n$

初值 : $a_0=0$

通解形式 ( 重要 ) :

① 非齐次部分是 $n$ 的 $t$ 次多项式 :

• 特征根不为 $1$ , 特解是 $n$ 的 $t$ 次多项式 ;
• 如果特征根为 $1$ , 且重数为 $e$ , 那么特解是 $n$ 的 $t+e$ 次多项式 ;

② 非齐次部分是 $P{\beta }^n$ :

• 特征根不能是底 $\beta$ , 特解是 $P{\beta }^n$ ;
• 特征根是底 $\beta$ , 该特征根重数为 $e$ , 特解是 $P{n}^e{\beta }^n$ ;

③ 齐次部分没有重根 : $H(n)=c_1{q}_1^n+c_2{q}_2^n+\cdots +c_k{q}_k^n$

④ 齐次部分有重根 : 通解第 $i$ 项 , 特征根 $q_i$ , 重数 $e_i$ , $H_i(n)=(c_{i1}+c_{i2}n+\cdots +c_{i{e}_i}{n}^{e_i-1})q_i^n$ , 最终通解 $H(n)=\sum _{i=1}^t{H}_i(n)$ ;

参考博客 : 【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 | 通解的四种情况 )

计算齐次部分通解 :

递推方程齐次部分标准形式 : $a_n-2a_{n-1}=0$

特征方程 : $x-2=0$

特征根 : $x=2$

齐次部分通解 : $\overline{a_n}=c{2}^n$

计算非齐次部分通解 :

上述递推方程非齐次部分是 $n+3^n$ , 由两部分构成 :

$n$ 的 $t$ 次多项式 : $n$ , 特征根不为 $1$ , 对应的特解是 $n$ 的 $t$ 次多项式 , 形式为 $P_{1}n+P_2$ ;

${\beta }^n$ 指数 : $3^n$ , 特征根不是底 $3$ , 对应的特解是 $P{\beta }^n$ 形式 , 形式为 $P_3{3}^n$ ;

完整的特解 : $a_n^{\ast }=P_{1}n+P_2+P_3{3}^n$

将特解代入到递推方程 :

$(P_{1}n+P_2+P_3{3}^n)-2[P_1(n-1)+P_2+P_3{3}^{n-1}]=n+3^n$

将左边式子展开 :

$-P_{1}n+(2P_1-P_2)+P_3{3}^{n-1}=n+3^n$

根据分析 $n$ 的次幂项 , 常数项 , $3^n$ 项的对应关系 , 可以得到以下方程组 :

{ − P 1 = 1 2 P 1 − P 2 = 0 P 3 3 = 1

解上述方程组 , 结果为 :

{ P 1 = − 1 P 2 = − 2 P 3 = 3

特解 : 将上述常数代入到 $a_n^{\ast }=P_{1}n+P_2+P_3{3}^n$ 中 , 得到最终特解 : $a_n^{\ast }=-n-2+3^{n+1}$ ;

齐次部分通解形式 : $\overline{a_n}=c{2}^n$

完整通解 : $a_n=\overline{a_n}+a_n^{\ast }=c{2}^n-n-2+3^{n+1}$

将初值 $a_0=0$ 代入上述通解 :

$c{2}^0-0-2+3^{0+1}=0$

$c-2+3=0$

$c=-1$

最终递推方程的通解是 $a_n=2^n-n-2+3^{n+1}$

二、递推方程通解的四种情况

通解形式 ( 重要 ) :

① 非齐次部分是 $n$ 的 $t$ 次多项式 :

• 特征根不为 $1$ , 特解是 $n$ 的 $t$ 次多项式 ;
• 如果特征根为 $1$ , 且重数为 $e$ , 那么特解是 $n$ 的 $t+e$ 次多项式 ;

② 非齐次部分是 $P{\beta }^n$ :

• 特征根不能是底 $\beta$ , 特解是 $P{\beta }^n$ ;
• 特征根是底 $\beta$ , 该特征根重数为 $e$ , 特解是 $P{n}^e{\beta }^n$ ;

③ 齐次部分没有重根 : $H(n)=c_1{q}_1^n+c_2{q}_2^n+\cdots +c_k{q}_k^n$

④ 齐次部分有重根 : 通解第 $i$ 项 , 特征根 $q_i$ , 重数 $e_i$ , $H_i(n)=(c_{i1}+c_{i2}n+\cdots +c_{i{e}_i}{n}^{e_i-1})q_i^n$ , 最终通解 $H(n)=\sum _{i=1}^t{H}_i(n)$ ;

参考博客 : 【组合数学】递推方程 ( 常系数线性非齐次递推方程 的 非齐次部分是 多项式 与 指数 组合方式 | 通解的四种情况 )

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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