一、特解形式与求法

$H(n)-a_{1}H(n-1)-\cdots -a_{k}H(n-k)=f(n)$ , $n\ge k,a_k\ne 0,f(n)\ne 0$

上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 $0$ , 而是一个基于 $n$ 的 函数 $f(n)$ , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;

$\overline{H(n)}$ 是上述递推方程对应 “常系数线性齐次递推方程” $H(n)-a_{1}H(n-1)-\cdots -a_{k}H(n-k)=0$ 的通解 ,

$H^{\ast }(n)$ 是一个特解 ,

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{\ast }(n)$

在 【组合数学】递推方程 ( 无重根递推方程求解实例 | 无重根下递推方程求解完整过程 ) 博客中介绍了 “常系数线性齐次递推方程” 的通解求法 ;

本博客中开始介绍 特解 $H^{\ast }(n)$ 的求法 ;

特解与 “常系数线性非齐次递推方程” 中的右部 $f(n)$ 有关 ,

$f(n)$ 为 $n$ 的 $t$ 次多项式 ,

特解 $H^{\ast }(n)$ 也是 $n$ 的 $t$ 次多项式 ;

1 . 特解形式 :

( 1 ) 特解形式 : 特解 $H^{\ast }(n)$ 是 $n$ 的 $t$ 次多项式 , $n$ 的幂取值从 $0$ 到 $t$ , 因此其 项数有 $t+1$ 项 ;

( 2 ) 特解每项组成 :

• ① 项数 : $t+1$ 项
• ② 组成 : 特解项由 常数 乘以 $n$ 的次幂 组成 , 常数是未知的 ;
• ③ 常数 : $t+1$ 个常数 , 使用下标标识好 ;
• ④ $n$ 的幂 : 幂取值从 $0$ 到 $t$ ;

( 3 ) 举例 : 特解 $H^{\ast }(n)$ 是 $n$ 的 $2$ 次多项式 ;

特解项数 : 则 特解项数 是 $2+1=3$ 项 ;

特解每项组成 : 特解每一项由 常数 乘以 $n$ 的次幂 组成 ,

• $3$ 个常数 设为 $P_1,P_2,P_3$ ,

• $3$ 个 $n$ 的次幂 , 幂取值 从 $0$ 到 $2$ ,

因此特解的形式为 $H^{\ast }(n)=P_1{n}^2+P_2{n}^1+P_3{n}^0$ ,

化简后为 : $H^{\ast }(n)=P_1{n}^2+P_{2}n+P_3$

2 . 特解求法 :

( 1 ) 先写出特解的形式 : 特解 $H^{\ast }(n)$ 也是 $n$ 的 $t$ 次多项式 ; 如 : $f(n)$ 为 $n$ 的 $2$ 次多项式 , 则特解为 $H^{\ast }(n)=P_1{n}^2+P_{2}n+P_3$

( 2 ) 特解代入递推方程 : 然后将特解代入递推方程 , 将特解中的系数确定下来 ;

二、特解形式与求法 示例

递推方程 : $a_n+5a_{n-1}+6a_{n-2}=3n^2$ ;

1 . 特解形式 :

上述递推方程左侧是 “常系数线性齐次递推方程” 形式 , 不用管 ,

右侧的 $3n^2$ 与特解相关 ,

$3n^2$ 为 $n$ 的 $2$ 次多项式 ,

因此特解 $H^{\ast }(n)$ 也是 $n$ 的 $2$ 次多项式 ;

2 . 写出特解形式 :

特解项数 : 则 特解项数 是 $2+1=3$ 项 ;

特解每项组成 : 特解每一项由 常数 乘以 $n$ 的次幂 组成 ,

• $3$ 个常数 设为 $P_1,P_2,P_3$ ,

• $3$ 个 $n$ 的次幂 , 幂取值 从 $0$ 到 $2$ ,

因此特解的形式为 $H^{\ast }(n)=P_1{n}^2+P_2{n}^1+P_3{n}^0$ ,

化简后为 : $H^{\ast }(n)=P_1{n}^2+P_{2}n+P_3$

3 . 将特解代入递推方程 :

将特解 $H^{\ast }(n)=P_1{n}^2+P_{2}n+P_3$ ,

代入到递推方程 $a_n+5a_{n-1}+6a_{n-2}=3n^2$ 中 ,

得到 :

$(P_1{n}^2+P_{2}n+P_3)+5(P_1(n-1{)}^2+P_2(n-1)+P_3)+6(P_1(n-2{)}^2+P_2(n-2)+P_3)=3n^2$

4 . 分析 $n$ 的幂写出方程组 :

左右两侧是相等的 , 这里 根据 $n$ 的次幂前的系数 , 写出方程组 ;

分析 $n$ 的次幂的系数 :

• $n^2$ 系数分析 : 右侧是 $3n^2$ , 因此 $n^2$ 前的系数是 $3$ ; 将左侧展开 , $n^2$ 前的系数相加 , 最终等于 $3$ ; $12P_1{n}^2=3n^2$
• $n^1$ 系数分析 : 右侧没有 $n^1$ , 即没有 $n$ 项 , 因此左侧的 $n$ 项之前的系数为 $0$ ; 将左侧展开 , $n$ 前的系数相加 , 最终等于 $0$ ; $-34P_{1}n+12P_{2}n=0n$
• $n^0$ 系数分析 : 右侧没有 $n^0$ , 即没有 $1$ 项 ( 纯数字项 ) , 因此左侧的数字项为 $0$ ; 将左侧展开 , 数字项最终等于 $0$ ; $29P_1-17P_2+12P_3=0$

最终得到方程组 :

{ 12 P 1 = 3 − 34 P 1 + 12 P 2 = 0 29 P 1 − 17 P 2 + 12 P 3 = 0

解上述方程组 , 得到结果 :

{ P 1 = 1 4 P 2 = 7 24 P 3 = 115 288

特解是 : $H^{\ast }(n)=\frac{1}{4}{n}^2+\frac{7}{24}n+\frac{115}{288}$

最终通解是 :

$H(n)=c_1(-2{)}^n+c_2(-3{)}^n+\frac{1}{4}{n}^2+\frac{7}{24}n+\frac{115}{288}$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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