一、递推方程标准型及通解

$H(n)-a_{1}H(n-1)-\cdots -a_{k}H(n-k)=f(n)$ , $n\ge k,a_k\ne 0,f(n)\ne 0$

上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 $0$ , 而是一个基于 $n$ 的 函数 $f(n)$ , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;

则上述递推方程的通解如下 :

$\overline{H(n)}$ 是上述递推方程对应 “常系数线性齐次递推方程” $H(n)-a_{1}H(n-1)-\cdots -a_{k}H(n-k)=0$ 的通解 ,

$H^{\ast }(n)$ 是一个特解 ,

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{\ast }(n)$

“常系数线性非齐次递推方程” 是 “常系数线性齐次递推方程” 的 齐次通解 , 加上一个 特解 ;

常系数线性非齐次递推方程 : $H(n)-a_{1}H(n-1)-\cdots -a_{k}H(n-k)=f(n)$
常系数线性齐次递推方程 : $H(n)-a_{1}H(n-1)-\cdots -a_{k}H(n-k)=0$

$H^{\ast }(n)$ 特解 , 是一个能使得方程左右相等的特定函数 ,

将 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{\ast }(n)$ 通解 代入到 $H(n)-a_{1}H(n-1)-\cdots -a_{k}H(n-k)=f(n)$ 的左部 ,

将带 上划线 的 $\overline{H(n)}$ 项合并 , 一定为 $0$ ,

将带 $\ast$ 星号 的 $H^{\ast }(n)$ 项合并 , 一定为 $f(n)$ ,

$0+f(n)$ 最终结果还是 $f(n)$ , 与右侧的 $f(n)$ 相等 ;

递推方程的任何一个解 , 都是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 的格式 ;

二、递推方程通解证明

证明 : 递推方程的通解 , 一定 是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 的格式 ;

递推方程 : $H(n)-a_{1}H(n-1)-\cdots -a_{k}H(n-k)=f(n)$ , $n\ge k,a_k\ne 0,f(n)\ne 0$

假设 $h(n)$ 是递推方程的通解 , 证明该 $h(n)$ 是一个 齐次通解 , 加上 一个特解 之和 ;

将 $h(n)$ 代入上述递推方程中 ,

① $h(n)-a_{1}h(n-1)-\cdots -a_{k}h(n-k)=f(n)$

特解 $H^{\ast }(n)$ 也是递推方程的解 , 将 $H^{\ast }(n)$ 代入递推方程 , 左右也是相等的 ,

② $H^{\ast }(n)-a_1{H}^{\ast }(n-1)-\cdots -a_k{H}^{\ast }(n-k)=f(n)$

将上述 ① ② 两个等式的 左部与左部相减 , 右部与右部相减 ,

$(h(n)-a_{1}h(n-1)-\cdots -a_{k}h(n-k))$ $-$ $(H^{\ast }(n)-a_1{H}^{\ast }(n-1)-\cdots -a_k{H}^{\ast }(n-k))$ $=0$

合并上式中的项 :

$[h(n)-H^{\ast }(n)]-a_1[h(n-1)-H^{\ast }(n-1)]-\cdots -a_k[h(n-k)-H^{\ast }(n-k)]=0$

上述方程是齐次方程 , $h(n)-H^{\ast }(n)$ 是齐次方程的通解 ,

那么 $h(n)$ 就是 齐次方程通解 与 特解 $H^{\ast }(n)$ 相加 ;

因此 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{\ast }(n)$ 格式一定是通解 ;

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