一、非齐次部分是指数的情况

常系数线性非齐次递推方程 : $H(n)-a_{1}H(n-1)-\cdots -a_{k}H(n-k)=f(n)$ , $n\ge k,a_k\ne 0,f(n)\ne 0$

上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 $0$ , 而是一个基于 $n$ 的 函数 $f(n)$ , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;

非齐次部分是指数的情况 :

如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分 $f(n)$ 是指数函数 , ${\beta }^n$ ,

如果 $\beta$ 不是特征根 ,

则非齐次部分的特解形式为 : $H^{\ast }(n)=P{\beta }^n$ ,

$P$ 是常数 ;

将上述特解 $H^{\ast }(n)=P{\beta }^n$ , 代入递推方程 , 求解出常数 $P$ 的值 , 进而得到了完整的特解 ;

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{\ast }(n)$

使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;

二、非齐次部分是指数的情况 示例

递推方程 : $a_n=6a_{n-1}+8^{n-1}$

初值 : $a_1=7$

第一步 , 先求出该递推方程 非齐次部分对应的特解 ,

递推方程的标准形式是 : $a_n-6a_{n-1}=8^{n-1}$

非齐次部分是 $8^{n-1}$ ,

因此其 特解 的形式是 $a^{\ast }n=P{8}^{n-1}$ , 其中 $P$ 是常数 ;

将特解代入上述递推方程 :

$P{8}^{n-1}-6P{8}^{n-2}=8^{n-1}$

在 $6P{8}^{n-2}$ 项乘以 $8$ 变成 $6P{8}^{n-1}$ , 再除以 $8$ 变成 $\frac{6P{8}^{n-1}}{8}=\frac{3P{8}^{n-1}}{4}$ , 代入等式中 ,

$P{8}^{n-1}-\frac{3P{8}^{n-1}}{4}=8^{n-1}$

$\frac{P{8}^{n-1}}{4}=8^{n-1}$

$\frac{P}{4}=1$

$P=4$

特解中的常数项 $P=4$ , 最终特解为 $a^{\ast }n=4\times 8^{n-1}$

第二步 , 求出齐次部分的通解

递推方程的标准形式是 : $a_n-6a_{n-1}=8^{n-1}$ ,

齐次部分是 $a_n-6a_{n-1}=0$

写出特征方程 : $x-6=0$ ,

特征根 $q=6$

写出齐次部分通解形式 : $\overline{a_n}=c\times 6^n$

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 $a_n=\overline{a_n}+a^{\ast }n$

递推方程通解是 : $a_n=c\times 6^n+4\times 8^{n-1}$

第三步 , 代入初值, 求出最终通解

代入初值 $a_1=7$ 到上述通解中得到

$c\times 6^1+4\times 8^{1-1}=7$

$6c+4=7$

$c=\frac{1}{2}$

$a_n=c\times 6^n+4\times 8^{n-1}$ 通解中的常数常数 $c=\frac{1}{2}$ , 将常数代入 ,

通解为 $a_n=\frac{1}{2}\times 6^n+4\times 8^{n-1}$

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