参考博客 :

• 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
• 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )

一、生成函数移位性质 1 ( 向后移位 )

生成函数移位性质 1 ( 向后移位 ) :

b ( n ) = { 0 , n < l a n − l , n ≥ l b(n) =

由 已知数列 $a_n$ 的 生成函数 $A(x)$ , 求 另外数列 $b_n$ 的 生成函数 $B(x)$ ;

已知数列 $a_n=\{a_0,a_1,\cdots ,a_n,\cdots \}$ , 生成函数为 $A(x)$ ;

数列 $b_n$ 与 $a_n$ 的关系是 , $b_n$ 在 $a_n$ 的前面增加了 $l$ 个 $0$ ;

数列 $a_n$ : $a_0,a_1,\cdots ,a_n,\cdots$

数列 $b_n$ : 0 , 0 , ⋯   , 0 ⏟ l 个 0 ,

数列 $b_n$ 的生成函数 , 前 $l$ 项的系数都是 $0$ , 所以可以省略 ,

• 第 $l$ 项 , $B(x)$ 的生成函数项是 $a_0{x}^l$ , 对应的 $A(x)$ 中的生成函数项是 $a_0$
• 第 $l+1$ 项 , $B(x)$ 的生成函数项是 $a_1{x}^{l+1}$ , 对应的 $A(x)$ 中的生成函数项是 $a_{1}x$

$B(x)$ 生成函数 中每项只是在 数列 $a_n$ 的 生成函数 $A(x)$ 每项的基础上 , 乘以 $x^l$ 即可 ;

二、生成函数移位性质 2 ( 向前移位 )

生成函数移位性质 2 ( 向前移位 ) :

$b_n=a_{n+1}$ , 则 $B(x)=\frac{A(x)-\sum _{n=0}^{l-1}{a}_n{x}^n}{x^l}$

由 已知数列 $a_n$ 的 生成函数 $A(x)$ , 求 另外数列 $b_n$ 的 生成函数 $B(x)$ ;

已知数列 $a_n=\{a_0,a_1,\cdots ,a_n,\cdots \}$ , 生成函数为 $A(x)$ ;

数列 $b_n$ 与 $a_n$ 的关系是 , $b_n$ 在 $a_n$ 的基础上向后移动了 $l$ 位 , $b_0$ 与 $a_l$ 值相同 , $b_1$ 与 $a_{l+1}$ 值相同 ;

                     \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \,                   

数列 $a_n$ : $a_0,a_1,\cdots ,a_l,a_{l+1}\cdots$

数列 $b_n$ : $b_0,b_1,\cdots$

根据 $A(x)$ 求 $B(x)$ :

在 $A(x)$ 的基础上 , 减去前 $l$ 项 , 即 从 $0$ 到 $l-1$ 项 , $a_0,a_{1}x,a_2{x}^2,\cdots a_{l-1}{x}^{l-1}$ , 因此有了 $A(x)-\sum _{n=0}^{l-1}{a}_n{x}^n$ ;

$A(x)$ 生成函数 的 剩余的项 , 每一项都比 $B(x)$ 多 $x^l$ 倍 , 除以 $x^l$ 即可 ;

在上述 $A(x)-\sum _{n=0}^{l-1}{a}_n{x}^n$ 基础上 , 除以 $x^l$ , 得到 $B(x)=\frac{A(x)-\sum _{n=0}^{l-1}{a}_n{x}^n}{x^l}$ ;

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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