参考博客 : 按照顺序看

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• 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★
• 【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )
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• 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解多重集 r 组合数 )
• 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数 )
• 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 )
• 【组合数学】生成函数 ( 使用生成函数求解不定方程解个数示例 2 | 扩展到整数解 )
• 【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序 | 有序 | 允许重复 | 不允许重复 | 无序不重复拆分 | 无序重复拆分 )
• 【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 无序不重复拆分示例 )
• 【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 正整数拆分基本模型 | 有限制条件的无序拆分 )
• 【组合数学】生成函数 ( 正整数拆分 | 重复有序拆分 | 不重复有序拆分 | 重复有序拆分方案数证明 )

一、指数生成函数

多重集的 组合数 , 使用 生成函数 进行计算 ;

多重集的 排列数 , 使用 指数生成函数 进行计算 ;

序列 $\{a_n\}$ , 其通项公式是 $a_n$ ,

$\{a_n\}$ 的 一般生成函数是 $G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n$ ,

$\{a_n\}$ 的 指数生成函数是 $G_e(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\frac{x^n}{n!}$       \ \ \ \,     ★ ( 重点公式 )

$\{a_n\}$ 的 指数生成函数 是在一般生成函数的基础上 除以了 $n!$ ;

二、排列数指数生成函数 = 组合数普通生成函数

排列数 : $P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$ , $n$ 个元素中取 $r$ 个元素 , 不允许重复的排列数 ;

组合数 : $C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$ , $n$ 个元素中取 $r$ 个元素 , 不允许重复的组合数 ;

组合数对应的生成函数 是 $G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{n}\right)x^n$ , 收敛后是 $(1+x{)}^n$

排列数对应的生成函数 是 $G(x)=\sum _{n=0}^{\infty }P(m,n)x^n$ , 根据 $n!C(m,n)=P(m,n)$ , 该排列数的生成函数 , 每一项都除以 $n!$ , 就可以得到对应的组合数的生成函数 ;

排列计数对应的指数生成函数 是 $G_e(x)=\sum _{n=0}^{\infty }P(m,n)\frac{x^n}{n!}$ , 根据 根据 $C(m,n)=\frac{P(m,n)}{n!}$ , 可以得出如下结论 :

排列计数的指数生成函数 $=$ 组合计数的普通生成函数

三、指数生成函数示例

数列 $b_n=1$ , 求 $\{b_n\}$ 的指数生成函数 ;

数列是 $\{1,1,1,\cdots \}$

普通生成函数 $G(x)=1+x+x^2+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n$

指数生成函数 $G_e(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=e^x$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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