一、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况

常系数线性非齐次递推方程 : $H(n)-a_{1}H(n-1)-\cdots -a_{k}H(n-k)=f(n)$ , $n\ge k,a_k\ne 0,f(n)\ne 0$

上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 $0$ , 而是一个基于 $n$ 的 函数 $f(n)$ , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;

非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 :

如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分 $f(n)$ 是指数函数 , ${\beta }^n$ ,

如果 $\beta$ 是 $e$ 重特征根 ,

非齐次部分的特解形式为 : $H^{\ast }(n)=P{n}^e{\beta }^n$ ,

$P$ 是常数 ;

将上述特解 $H^{\ast }(n)=P{n}^e{\beta }^n$ , 代入递推方程 , 求解出常数 $P$ 的值 , 进而得到了完整的特解 ;

“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 $H(n)=\overline{H(n)}+H^{\ast }(n)$

使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;

二、非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 示例

递推方程 : $H(n)-5H(n-1)+6H(n-2)=2^n$ , 求特解 ?

查看其特征根 :

递推方程的标准形式是 : $H(n)-5H(n-1)+6H(n-2)=2^n$ ,

齐次部分是 $H(n)-5H(n-1)+6H(n-2)=0$

写出特征方程 : $x^2-5x+6=0$ ,

特征根 $q_1=2,q_2=3$

求该递推方程 非齐次部分对应的特解 ,

递推方程的标准形式是 : $H(n)-5H(n-1)+6H(n-2)=2^n$

非齐次部分是 $2^n$ , 是指数函数 , 但是其底是 $1$ 重特征根 ,

此时要使用底是 $e$ 重特征根的特解形式来构造特解 $H^{\ast }(n)=P{n}^e{\beta }^n$

特解的形式是 $H^{\ast }(n)=P{n}^1{2}^n=Pn{2}^n$ , 其中 $P$ 是常数 ;

将特解代入上述递推方程 :

$Pn{2}^n-5P(n-1)2^{n-1}+6P(n-2)2^{n-2}=2^n$

所有项都构造 $2^n$

$Pn{2}^n-\frac{5P(n-1)2^n}{2}+\frac{6P(n-2)2^n}{4}=2^n$

左右两侧都除以 $2^n$

$Pn-\frac{5P(n-1)}{2}+\frac{3P(n-2)}{2}=1$

$Pn-\frac{5Pn}{2}+\frac{5P}{2}+\frac{3Pn}{2}-3P=1$

$\frac{5P}{2}-3P=1$

$-\frac{P}{2}=1$

$P=-2$

特解的形式 $H^{\ast }(n)=Pn{2}^n$ , 其中 $P$ 常数值为 $-2$ ;

特解为 $H^{\ast }(n)=-2n{2}^n$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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