参考博客 :

• 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )

一、生成函数线性性质

生成函数 线性性质 1 :

$b_n=\alpha a_n$ , 则 $B(x)=\alpha A(x)$

数列 $a_n$ 的生成函数是 $A(x)$ , 数列 $b_n$ 的生成函数是 $B(x)$ ,

如果 $b_n$ 数列 是 $a_n$ 数列 的 $\alpha$ 倍 , 那么对应的 生成函数也存在对应的关系 ;

证明方法 : 将两边展开 , 根据定义代入即可 ;

二、生成函数线性性质2

生成函数 线性性质 2 :

$c_n=a_n+b_n$ , 则 $C(x)=A(x)+B(x)$

数列 $a_n$ 的生成函数是 $A(x)$ , 数列 $b_n$ 的生成函数是 $B(x)$ , 数列 $c_n$ 的生成含税是 $C(x)$ ,

数列和 的 生成函数 , 等于 生成函数的和 ;

一个数列是 其它数列的线性组合 , 那么将其 生成函数进行相应的组合 , 也能求出 大的数列的生成函数 ;

证明方法 : 将两边展开 , 根据定义代入即可 ;

三、生成函数乘积性质

生成函数 乘积性质 :

$c_n=\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$ , 则有 $C(x)=A(x)\cdot B(x)$

数列 $a_n$ 的生成函数是 $A(x)$ , 数列 $b_n$ 的生成函数是 $B(x)$ , 数列 $c_n$ 的生成含税是 $C(x)$ ,

数列 $a_n$ 的生成函数 : $A(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$

数列 $b_n$ 的生成函数 : $B(x)=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots$

数列 $c_n$ 的生成函数 : $C(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2+\cdots$

右边的 两个生成函数 $A(x)$ 和 $B(x)$ 相乘 :

$(a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots )\times (b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\cdots )$

按照多项式乘法 ,

$x^0$ , $0$次方项 , 即常数项, 构成方法有 $1$ 种 , 两个生成函数中的常数项 , 相乘之后是 $a_0{b}_0$ ,

$x^1$ , $1$次方项 , 构成方法有 $2$ 种 ,

• $A(x)$ 中的 $a_{1}x$ 与 $B(x)$ 中的 $b_0$ , 构成 $x^1$ 一次方项 $a_1{b}_{0}x$ ;
• $A(x)$ 中的 $a_0$ 与 $B(x)$ 中的 $b_{1}x$ , 构成 $x^1$ 一次方项 $a_0{b}_{1}x$ ;

$x^1$ , $1$次方项的系数是 $a_1{b}_0+a_0{b}_1$ , 完整的 $1$次方项是 $(a_1{b}_0+a_0{b}_1)x$

$x^2$ , $2$ 次方项 , 构成方法有 $3$ 种 ,

• $A(x)$ 中的 $a_0$ 与 $B(x)$ 中的 $b_2{x}^2$ , 构成 $x^2$ , $2$次方项 $a_0{b}_2{x}^2$ ;
• $A(x)$ 中的 $a_2{x}^2$ 与 $B(x)$ 中的 $b_0$ , 构成 $x^2$ , $2$次方项 $a_2{b}_0{x}^2$ ;
• $A(x)$ 中的 $a_{1}x$ 与 $B(x)$ 中的 $b_{1}x$ , 构成 $x^2$ , $2$次方项 $a_1{b}_1{x}^2$ ;

$x^2$ , $2$次方项的系数是 $a_0{b}_2+a_2{b}_0+a_1{b}_1$ , 完整的 $2$次方项是 $(a_0{b}_2+a_2{b}_0+a_1{b}_1)x^2$

规律 : $x$ 的 $n$ 次方项 , 其系数是 $\sum _{i=0}^n{a}_i{b}_{n-i}$ , 由 $n+1$ 项组成 , 每一项的 $a_i,b_{n-i}$ 下标之和是 $n$ ;

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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