参考博客 :

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• 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★

数列的 通项公式 就是 级数

一、给定级数求生成函数

求 $b_n=7\cdot 3^n$ 的生成函数 ;

已知数列是 $1^n$ , 对应的生成函数是
$\{a_n\}$ , $a_n=1^n$ ; A ( x ) = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 1 − x

先根据 数列 通项表示 , 写出级数之和 :

$G(x)=7\times 3^0{x}^0+7\times 3^1{x}^1+7\times 3^2{x}^2+\cdots +7\times 3^n{x}^n+\cdots$

将常数提取到外部 :

$G(x)=7(3^0{x}^0+3^1{x}^1+3^2{x}^2+\cdots +3^n{x}^n+\cdots )$

写成合式 :

$G(x)=7\sum _{n=0}^{\infty }{3}^n{x}^n$

根据生成函数换元性质 : 通过换元 , 将 $3x$ 看做一项 :

$G(x)=7\sum _{n=0}^{\infty }(3x{)}^n$

根据 常用生成函数 $A(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n=\frac{1}{1-x}$

可以得出 : $\sum _{n=0}^{\infty }(3x{)}^n=\frac{1}{1-3x}$

根据生成函数线性性质 , 乘法性质 : $b_n=\alpha a_n$ , 则 $B(x)=\alpha A(x)$

可以得出最终的生成函数 $G(x)=7\sum _{n=0}^{\infty }(3x{)}^n=\frac{7}{1-3x}$

二、给定生成函数求级数

给定序列 $\{b_n\}$ 的生成函数 $G(x)=\frac{2}{1-3x+2x^2}$ , 求 $\{b_n\}$

先将 生成函数 转化为 其它 生成函数 之和 ;

$G(x)=\frac{2}{1-3x+2x^2}$

将 $1-3x+2x^2$ 分解因式 , 分解为 $(1-x)(1-2x)$

将其转为 如下形式的和 , 分子 $A,B$ 是待定常数 ;

$G(x)=\frac{2}{1-3x+2x^2}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1-2x}$

将上述式子同分 , 表达成 $A,B$ 的分式 :

$G(x)=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1-2x}=\frac{A(1-2x)+B(1-x)}{(1-x)(1-2x)}$

$=\frac{A-2Ax+B-Bx}{(1-x)(1-2x)}$

$=\frac{(A+B)-(2A+B)x}{(1-x)(1-2x)}$

$=\frac{(A+B)-(2A+B)x}{1-3x+2x^2}$

与 $G(x)=\frac{2}{1-3x+2x^2}$ 的分子的 $x$ 项 与 常数项 对比 :

$x$ 一次方项是 $0$ , 即 $2A+B=0$

常数项是 $2$ , 即 $A+B=2$

得到方程组 :

{ A + B = 2 2 A + B = 0

解上述方程组 , 得到结果 :

{ A = − 2 B = 4

则生成函数最终分解成了 : $G(x)=\frac{2}{1-3x+2x^2}=\frac{-2}{1-x}+\frac{4}{1-2x}$

使用线性性质 :

$\frac{-2}{1-x}$ 对应的级数是 : $\sum _{n=0}^{\infty }(-2)x^n$ , 数列通项是 $c_n=-2$ ;

使用线性性质 , 换元性质 :

$\frac{4}{1-2x}$ 对应的级数是 : $\sum _{n=0}^{\infty }4(2x{)}^n=\sum _{n=0}^{\infty }4\cdot 2^n{x}^n$ , 数列通项是 $4\cdot 2^n$

最终的数列是 : $b_n=-2+4\cdot 2^n$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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