参考博客 :

• 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
• 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
• 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )

一、生成函数换元性质

生成函数求和性质 1 :

$b_n={\alpha }^n{a}_n$ , 则 $B(x)=A(\alpha x)$

数列 $a_n$ 的生成函数是 $A(x)$ , 数列 $b_n$ 的生成函数是 $B(x)$ ,

数列 $a_n=\{a_0,a_1,a_2,\cdots \}$ , 数列 $b_n=\{{\alpha }^0{a}_0,{\alpha }^1{a}_1,{\alpha }^2{a}_2,\cdots \}$ ;

数列 $a_n$ 的生成函数 $A(x)=a_0{x}^0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots$

数列 $b_n$ 的生成函数 $B(x)={\alpha }^0{a}_0{x}^0+{\alpha }^1{a}_1{x}^1+{\alpha }^2{a}_2{x}^2+\cdots$

证明方法 :

在 $b_n$ 的生成函数 $B(x)$ 中 , 将 ${\alpha }^0{x}^0$ 看作一项 , 将 ${\alpha }^1{x}^1$ 看作一项 , 将 ${\alpha }^2{x}^2$ 看作一项 ,

观察上述项可以看出 , $\alpha$ 与 $x$ 的幂值是相同的 ,

因此可以 将 $\alpha x$ 看作一个变量 ,

这样通过换元可以得到 $B(x)=A(\alpha x)$ 公式 ;

二、生成函数求导性质

生成函数求导性质 :

$b_n=n{a}_n$ , 则 $B(x)=x{A}^{\prime }(x)$

数列 $a_n$ 的生成函数是 $A(x)$ , 数列 $b_n$ 的生成函数是 $B(x)$ ,

数列 $a_n=\{a_0,a_1,a_2,\cdots ,a_n,\cdots \}$ , 数列 $b_n=\{0a_0,a_1,2a_2,\cdots ,n{a}_n,\cdots \}$ ;

数列 $a_n$ 的生成函数 $A(x)=a_0{x}^0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\cdots$

数列 $b_n$ 的生成函数 $B(x)=0a_0{x}^0+1a_1{x}^1+2a_2{x}^2+\cdots +n{a}_n{x}^n+\cdots$

证明上述性质 :

将 数列 $a_n$ 的生成函数 $A(x)$ 求导 , 再 乘以 $x$ , 即可得到 $B(x)$ ;

$A(x)=a_0{x}^0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots +a_n{x}^n+\cdots$

使用导数公式 : $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$

参考 : 求导-百度百科

$A^{\prime }(x)=0+a_1+2a_{2}x+\cdots +n{a}_n{x}^{n-1}+\cdots$

$x{A}^{\prime }(x)=0+a_{1}x+2a_2{x}^2+\cdots +n{a}_n{x}^n+\cdots =B(x)$

三、生成函数积分性质

$b_n=\frac{a_n}{n+1}$ , 则 $B(x)=\frac{1}{x}{\int }_0^{x}A(x)dx$

上述性质很难记忆 , 由已知生成函数 , 可以推导出未知的生成函数 , 使用时推导即可 ;

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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