排列组合参考博客 :

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一、集合组合、一一对应模型分析示例

将 $2n$ 个人分成 $n$ 组 , 每组 $2$ 人 , 有多少种分法 ?

先确定该问题是否是选取问题 , 元素是否重复 , 选取是否有序 ,

• 不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列
• 不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合
• 可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列
• 可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合

$2n$ 个人 , 人肯定是不重复的 , 分成 $n$ 组 , 这里的分组是没有区别的 , 相当于集合的划分 ;

另外还有限制条件 , 每组只能放 $2$ 个元素 ;

原始的简单模型 , 如 分类 ( 加法 ) , 分步 ( 乘法 ) , 集合排列 , 集合组合 , 多重集排列 , 多重集组合 , 没有对应的模型 , 无法直接使用 ;

不是简单的选取问题 ;

这里需要考虑 组有区别 , 组没有区别 两种情况 ;

分组有区别的话 , 分成 $n$ 组 , 先放第 $1$ 组 , 选 $2$ 个人 , 再放第 $2$ 组 , 选 $2$ 个人 , $\cdots$ 这种方案是 可以计算出来的 ;

分组没有区别 , 此时需要观察 分组有区别 和 没有区别 的差别 :

分组没有区别 , 得到一种方法 , 然后对 $n$ 个分组进行全排列 , 有 $n!$ 种排列方法 , 就得到了分组有区别的方案个数 ;

这里将 分组有区别方案数 与 分组没有区别方案数 建立对应关系 :

$$分组没有区别方案数\times n!=分组有区别方案数$$

分组有区别方案数 是可以计算出来的 , 然后 除以 $n!$ , 即可得到 分组没有区别的方案数 ;

分组有区别 , 按照 分步处理 的方案 :

① 第 $1$ 步 : 从 $2n$ 个元素中 , 选取 $2$ 个元素 , 有 $C(2n,2)$ 种方案 ;

② 第 $2$ 步 : 从 $2n-2$ 个元素中 , 选取 $2$ 个元素 , 有 $C(2n-2,2)$ 种方案 ;

③ 第 $3$ 步 : 从 $2n-4$ 个元素中 , 选取 $2$ 个元素 , 有 $C(2n-4,2)$ 种方案 ;

$$⋮$$

④ 第 $n$ 步 : 从 $2n-(2n-2)$ 个元素中 , 选取 $2$ 个元素 , 有 $C(2n-(2n-2),2)$ 种方案 ; 也就是 $1$ 种方案 ;

排列组合公式

• 排列 : $P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$
• 组合 : $C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$

分步处理 需要使用乘法原则 , 将 $n$ 步的方案数相乘 :

N = C ( 2 n , 2 ) C ( 2 n − 2 , 2 ) C ( 2 n − 4 , 2 ) ⋯ C ( 2 n − ( 2 n − 2 ) , 2 ) = 2 n ! 2 ! × ( 2 n − 2 ) ! × ( 2 n − 2 ) ! 2 ! × ( 2 n − 4 ) ! ⋯ ( 2 n − ( 2 n − 2 ) ) ! 2 ! × ( 2 n − ( 2 n − 2 ) − 2 ) ! ⏟ n 个 分 步 相 乘 前 后 可 以 约 掉 很 多 阶 乘 = ( 2 n ) ! ( 2 ! ) n

分组有区别的方案个数是 $\frac{(2n)!}{(2!{)}^n}$ 个 ;

根据 $$分组没有区别方案数\times n!=分组有区别方案数$$

公式 ;

分组有区别方案数 是可以计算出来的 , 然后 除以 $n!$ , 即可得到 分组没有区别的方案数 ;

最终结果是 $\frac{(2n)!}{(2!{)}^{n}n!}$

该问题不是简单的使用 原始的简单模型 , 如 分类 ( 加法 ) , 分步 ( 乘法 ) , 集合排列 , 集合组合 , 多重集排列 , 多重集组合 ;

而是将不可计算的模型 , 对应到一个可计算的模型中 , 然后计算出该模型 的重复度

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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