参考博客 :

• 【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )
• 【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )

一、排列组合内容概要

排列组合内容概要 :

• 选取问题
• 集合的排列与组合问题
• 基本计数公式应用
• 多重集的排列与组合问题

二、选取问题

$n$ 元集 $S$ , 从 $S$ 集合中选取 $r$ 个元素 ;

根据 元素是否允许重复 , 选取过程是否有序 , 将选取问题分为四个子类型 :

选取问题中 :

• 不可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 集合的排列
• 不可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 集合的组合
• 可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列
• 可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合

三、集合排列

$n$ 元集 $S$ , 从 $S$ 集合中 有序 , 不重复 选取 $r$ 个元素 ,

该操作称为 $S$ 集合的一个 $r-$ 排列 ,

$S$ 集合的 $r-$ 排列记作 $P(n,r)$

P ( n , r ) = { n ! ( n − r ) ! n ≥ r 0 n < r P(n,r)=

该排列公式使用乘法法则得到 : 将整个排列看做 $r$ 个位置

• 第 $1$ 个位置有 $n$ 种放置方法 , 即从当前的 $n$ 个元素中任选一个 , 剩下 $n-1$ 个元素 ;
• 第 $2$ 个位置有 $n-1$ 种放置方法 , 即从当前的 $n-1$ 个元素中任选一个 , 剩下 $n-2$ 个元素 ;
• 第 $3$ 个位置有 $n-2$ 种放置方法 , 即从当前的 $n-2$ 个元素中任选一个 , 剩下 $n-3$ 个元素 ;

$$⋮$$

• 第 $r$ 个位置有 $n-(r-1)=n-r+1$ 种放置方法 , 即从当前的 $n-r+1$ 个元素中任选一个 , 剩下 $n-r$ 个元素 ;

$0!=1$

四、环排列

$n$ 元集 $S$ , 从 $S$ 集合中 有序 , 不重复 选取 $r$ 个元素 ,

$S$ 集合的 $r-$ 环排列数 $=\frac{P(n,r)}{r}=\frac{n!}{r(n-r)!}$

$r$ 个不同的线性排列 , 相当于同一个环排列 ;

一个环排列 , 从任意位置剪开 , 可以构成 $r$ 种不同的线性排列 ;

五、集合组合

$n$ 元集 $S$ , 从 $S$ 集合中 无序 , 不重复 选取 $r$ 个元素 ,

该操作称为 $S$ 集合的一个 $r-$ 组合 ,

$S$ 集合的 $r-$ 组合记作 $C(n,r)$

C ( n , r ) = { P ( n , r ) r ! = n ! r ! ( n − r ) ! n ≥ r 0 n < r C(n,r)=

$r-$ 排列也可以这样理解 ( 先组合后排列 ) : 选出 $r$ 个有序的排列 $C(n,r)$ , 可以先将其 $r$ 个无序的选择做出来 , 然后再对选择好的元素进行全排列 $C(n,r)r!=P(n,r)$ ;

组合恒等式 :

$$C(n,r)=C(n,n-r)$$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：hanshuliang.blog.csdn.net/article/details/109109685