排列组合参考博客 :

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一、集合排列、分步处理示例

有 $9$ 本不同的书 , $4$ 本红皮 , $5$ 本白皮 ;

1. $9$ 本书的排列方式 :

$9$ 本书 , 每本书都是不同的 , 元素不重复 , 排列方式指的是有序选取 ,

因此这里 元素不重复 , 有序选取 , 对应的是 集合的排列 , 使用集合排列公式 ;

$$N=P(n,r)=P(9,9)=\frac{9!}{(9-9)!}=9!$$

★ 排列数与组合数回顾 :

• 排列数 : $n$ 元集 $S$ , 从 $S$ 集合中 有序 , 不重复 选取 $r$ 个元素 , $P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$
• 组合数 : $n$ 元集 $S$ , 从 $S$ 集合中 无序 , 不重复 选取 $r$ 个元素 , $C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}\frac{n!}{(n-r)!r!}$
  参考 : 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )

2. 白皮书放在一起的排列方式 :

分步处理 : 需要进行分步处理 , 先将白皮书排列好 , 然后将 所有白皮书 当做一个元素 , 与红皮书进行排序 ;

( 1 ) 第 $1$ 步 : $5$ 本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;

$$N=P(n,r)=P(5,5)=\frac{5!}{(5-5)!}=5!$$

( 2 ) 第 $2$ 步 : $4$ 本红皮书 , 与一组白皮书 进行排序 , 有 $5$ 个元素 , 将其进行全排列 ;

$$N=P(n,r)=P(5,5)=\frac{5!}{(5-5)!}=5!$$

( 3 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述两个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;

$$N=5!5!$$

3. 白皮书放在一起 , 红皮书放在一起 的排列方式 :

分步处理 : 需要进行分步处理 ,

• 先将白皮书排列好 ;
• 再将红皮书排列好 ;
• 最后将 所有白皮书 当做一个元素 , 所有的红皮书当做一个元素 , 将上述两个元素进行排列 ;

( 1 ) 第 $1$ 步 : $5$ 本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;

$$N=P(n,r)=P(5,5)=\frac{5!}{(5-5)!}=5!$$

( 2 ) 第 $2$ 步 : $4$ 本红皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;

$$N=P(n,r)=P(4,4)=\frac{4!}{(4-4)!}=4!$$

( 3 ) 第 $3$ 步 : 最后将 所有白皮书 当做一个元素 , 所有的红皮书当做一个元素 , 将上述两个元素进行排列 ;

$$N=P(n,r)=P(2,2)=\frac{2!}{(2-2)!}=2!$$

( 4 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述 $3$ 个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;

$$N=5!4!2!$$

4. 白皮书和红皮书相间排列 的排列方式 :

分步处理 : 需要进行分步处理 ,

• 先将白皮书排列好 ;
• 再将红皮书插空放入 ;

( 1 ) 第 $1$ 步 : $5$ 本白皮书放在一起 , 排列方式就是 元素不重复 有序选取 , 是集合的排列 ;

$$N=P(n,r)=P(5,5)=\frac{5!}{(5-5)!}=5!$$

( 2 ) 第 $2$ 步 : $5$ 本白皮书排列形成了 $4$ 个空位 , 将红皮书插空放入 $4$ 个位置 , 即集合全排列 ;

$$N=P(n,r)=P(4,4)=\frac{4!}{(4-4)!}=4!$$

( 3 ) 分步汇总 ( 乘法原则 ) : 将上述 $2$ 个步骤的排列方案个数相乘 , 就是最终结果 ;

$$N=5!4!$$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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