排列组合参考博客 :

• 【组合数学】基本计数原则 ( 加法原则 | 乘法原则 )
• 【组合数学】集合的排列组合问题示例 ( 排列 | 组合 | 圆排列 | 二项式定理 )
• 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 )
• 【组合数学】排列组合 ( 排列组合示例 )
• 【组合数学】排列组合 ( 多重集排列 | 多重集全排列 | 多重集非全排列 所有元素重复度大于排列数 | 多重集非全排列 某些元素重复度小于排列数 )
• 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数 | 所有元素重复度大于组合数 | 多重集组合数 推导 1 分割线推导 | 多重集组合数 推导 2 不定方程非负整数解个数推导 )
• 【组合数学】排列组合 ( 多重集组合数示例 | 三个计数模型 | 选取问题 | 多重集组合问题 | 不定方程非负整数解问题 )

一、两个计数原则、集合排列示例

排列 $26$ 个字母 , 使得 $a,b$ 之间有 $7$ 个字母 , 求排列方法数 ;

需要使用 分类计数原理 ( 加法原则 ) , 分步计数原理 ( 乘法原则 ) ;

• 分类计数 ( 加法原则 ) : 有 $3$ 类方案 , 第一类有 $2$ 个方案 , 第二类有 $4$ 个方案 , 第三类有 $1$ 个方案 , 总共有 $2+4+1=7$ 个方案 ;
• 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 有 $3$ 类方案 , 第一步有 $2$ 个方案 , 第二步有 $4$ 个方案 , 第三步有 $1$ 个方案 , 总共有 $2\times 4\times 1=8$ 个方案 ;

1. 首先使用分步计数原理 ,

• 第一步 : 先构造出以 $a,b$ 为边界 , 中间含有 $7$ 个字母的子结构 ;
• 第二步 : 将 $a,b$ 子结构作为元素 , 与其它 $26-9=17$ 个子元素一起 , 总共 $18$ 个元素进行全排列 ;

分步计数原理对应乘法法则 , 最终结果是 第一步的方案个数 乘以 第二步的方案个数 ;

2. 第一步计算 : 先构造出以 $a,b$ 为边界 , 中间含有 $7$ 个字母的子结构 ;

该子结构中的 $7$ 个字母 , 相当于从除 $a,b$ 之外的其它 $24$ 个字母中选取 $7$ 个字母进行排列 ,

一一对应 : 相当于元素不重复的集合中 , 进行有序选取 , 对应着集合的排列问题 , 使用集合排列公式进行计算 ;

$24$ 个字母中选取 $7$ 个字母进行排列 , 选取方法有 $P(24,7)$ 种 ;

这里涉及到分类计数原理 ,

• 第一类是 $a$ 在前 , $b$ 在后的情况 , 选取方法有 $P(24,7)$ 种 ;
• 第二类是 $b$ 在前 , $a$ 在后的情况 , 选取方法有 $P(24,7)$ 种 ;

分类计数原理对应加法法则 , 总的方法数是 第一类 与 第二类 相加之和 , 选取方法有 $2P(24,7)$ 种 ;

3. 第二步计算 : 将 $a,b$ 子结构作为元素 , 与其它 $26-9=17$ 个子元素一起 , 总共 $18$ 个元素进行全排列 ;

$18$ 个元素进行全排列 , 结果是 $18!$ ;

4. 第一步方案 乘以 第二步方案 ( 分步计算原理 加法法则 ) :

第一步的方案个数 乘以 第二步的方案个数 ;

$$N=2P(24,7)18!$$

二、集合排列、圆排列示例

$10$ 个男生 , $5$ 个女生, 站成一排 , 如果没有女生相邻 , 有多少种方法 ? 如果站成一圈 , 有多少种方法 ?

需要使用 分类计数原理 ( 加法原则 ) , 分步计数原理 ( 乘法原则 ) ;

• 分类计数 ( 加法原则 ) : 有 $3$ 类方案 , 第一类有 $2$ 个方案 , 第二类有 $4$ 个方案 , 第三类有 $1$ 个方案 , 总共有 $2+4+1=7$ 个方案 ;
• 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 有 $3$ 类方案 , 第一步有 $2$ 个方案 , 第二步有 $4$ 个方案 , 第三步有 $1$ 个方案 , 总共有 $2\times 4\times 1=8$ 个方案 ;

1. $10$ 个男生 , $5$ 个女生, 站成一排 , 如果没有女生相邻 , 有多少种方法 :

需要使用分步处理 : 先把男生放好 , 然后将女生插空放进去 ;

① 第一步 : 先把男生放好 , 男生 $10$ 个 , 站好以后有 $11$ 个格子 ;

$10$ 个男生的放置位置 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合排列问题 , 排列方案有 $P(10,10)=10!$ 个方案 ;

② 第二步 : 然后将女生插空放进去 , $5$ 个女生只能放在这 $11$ 个格子中 ;

$11$ 个格子中放 $5$ 个女生 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合的排列问题 , 排列方案有 $P(11,5)$

③ 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 将 第一步方案数 与 第二步方案数 相乘 , 方案个数是 :

$$P(10,10)P(11,5)$$

2. $10$ 个男生 , $5$ 个女生, 站成一圈 , 如果没有女生相邻 , 有多少种方法 :

需要使用分步处理 : 先把男生放好 , 然后将女生插空放进去 ;

① 第一步 : 先把男生放好排成一圈 , 男生 $10$ 个 , 因为是排成一圈 , 因此站好以后只有 $10$ 个格子 ;

$10$ 个男生的放置位置 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合圆排列问题 , 需要使用圆排列公式 , 排列方案有 $\frac{P(10,10)}{10}$ 个方案 ;

参考 : 【组合数学】排列组合 ( 排列组合内容概要 | 选取问题 | 集合排列 | 集合组合 ) 四、环排列

$n$ 元集 $S$ , 从 $S$ 集合中 有序 , 不重复 选取 $r$ 个元素 ,
$S$ 集合的 $r-$ 环排列数 $=\frac{P(n,r)}{r}$
$r$ 个不同的线性排列 , 相当于同一个环排列 ;
一个环排列 , 从任意位置剪开 , 可以构成 $r$ 种不同的线性排列 ;

② 第二步 : 然后将女生插空放进去 , $5$ 个女生只能放在这 $10$ 个格子中 ;

$10$ 个格子中放 $5$ 个女生 , 元素不重复的有序选取 , 这是集合的排列问题 , 排列方案有 $P(10,5)$

③ 分步计数原理 ( 乘法原则 ) : 将 第一步方案数 与 第二步方案数 相乘 , 方案个数是 :

$$\frac{P(10,10)}{10}P(10,5)$$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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