一、 前束范式

公式 $A$ 有如下形式 :

$$Q_1{x}_1{Q}_2{x}_2\cdots Q_k{x}_{k}B$$

则称 $A$ 是 前束范式 ; 前束范式 $A$ 的相关元素 说明 :

量词 : $Q_i$ 是量词 , 全称量词 $\forall$ , 或 存在量词 $\exists$ ;

指导变元 :$x_i$ 是 指导变元 ;

$B$ 公式 : $B$ 是谓词逻辑公式 , 其中不含有量词 , $B$ 中 可以含有 前面的 $x_1,x_2,\cdots ,x_k$ 指导变元 , 也 可以不含有 其中的某些变元 ;

( $B$ 中一定不能含有量词 )

二、 前束范式转换方法

求一个谓词逻辑公式的前束范式 , 使用 基本等值式 , 或 换名规则 ;

基本等值式 : 参考博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 谓词逻辑基本等值式 | 消除量词等值式 | 量词否定等值式 | 量词辖域收缩扩张等值式 | 量词分配等值式 )

换名规则 : 公式 $A$ 中 , 某个量词辖域中 , 某个约束 出现的 个体变元 对应的 指导变元 $x_i$ , 使用公式 $A$ 中没有出现过的 变元 $x_j$ 进行替换 , 所得到的公式 $A^{\prime }\iff A$ ;

如 : $\forall xF(x)\vee \forall x\neg G(x,y)$ 如果要求其前束范式 , 前后有两个 $x$ , 这里使用换名规则 , 将某个换成没有出现过的 指导变元 $z$ , 换名后为 $\forall xF(x)\vee \forall z\neg G(z,y)$ ;

三、 前束范式示例

求 $\forall xF(x)\vee \neg \exists xG(x,y)$ 的前束范式 ;

上述公式不是前束范式 , 其 量词 $\forall x$ 的辖域是 $F(x)$ , 量词 $\exists x$ 的辖域是 $G(x,y)$ , 两个辖域都没有覆盖完整的公式 ;

使用 等值演算 和 换名规则 , 求前束范式 ;

$\forall xF(x)\vee \neg \exists xG(x,y)$

使用 量词否定等值式 , 先把 否定联结词 移动到量词后面 , 使用的等值式为 $\neg \exists xA(x)\iff \forall x\neg A(x)$ ;

$\iff \forall xF(x)\vee \forall x\neg G(x,y)$

使用 换名规则 , 将第二个 $\forall x\neg G(x,y)$ 中的 $x$ 换成 $z$ ;

$\iff \forall xF(x)\vee \forall z\neg G(z,y)$

使用 辖域扩张等值式 , 将 $\forall x$ 辖域扩张 , 使用的等值式为 $\forall x(A(x)\vee B)\iff \forall xA(x)\vee B$

$\iff \forall x(F(x)\vee \forall z\neg G(z,y))$

再次使用 辖域扩张等值式 , 将 $\forall z$ 辖域扩张 , 使用的等值式为 $\forall x(A(x)\vee B)\iff \forall xA(x)\vee B$

$\iff \forall x\forall z(F(x)\vee \neg G(z,y))$

此时已经是前束范式了 ;

使用 命题逻辑 等值式 中的 蕴涵等值式

$\iff \forall x\forall z(G(z,y)\to F(x))$

四、 谓词逻辑推理定律

下面推理定律是单向的 , 从左边可以推理出右边 , 从右边不能推理出左边 ; ( 不是等值式 )

① $\forall \mathrm{x}\mathrm{A}(\mathrm{x})\vee \forall \mathrm{x}\mathrm{B}(\mathrm{x})\Rightarrow \forall \mathrm{x}(\mathrm{A}(\mathrm{x})\vee \mathrm{B}(\mathrm{x}))$

对应 全称量词 分配率 , 等值式中 只适用于 合取联结词 , 就是因为上述 析取时 , 从右往左 是错误的 , 只能从左往右推理 ;

② $\exists \mathrm{x}(\mathrm{A}(\mathrm{x})\wedge \mathrm{B}(\mathrm{x}))\Rightarrow \exists \mathrm{x}\mathrm{A}(\mathrm{x})\wedge \exists \mathrm{x}\mathrm{B}(\mathrm{x})$

③ $\forall \mathrm{x}(\mathrm{A}(\mathrm{x})\to \mathrm{B}(\mathrm{x}))\Rightarrow \forall \mathrm{x}\mathrm{A}(\mathrm{x})\to \forall \mathrm{x}\mathrm{B}(\mathrm{x})$

④ $\forall \mathrm{x}(\mathrm{A}(\mathrm{x})\to \mathrm{B}(\mathrm{x}))\Rightarrow \exists \mathrm{x}\mathrm{A}(\mathrm{x})\to \exists \mathrm{x}\mathrm{B}(\mathrm{x})$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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