一、等价关系

等价关系概念 :

$A$ 集合是非空集合 , $A\ne \varnothing$ , 并且 $R$ 关系是 $A$ 集合上的二元关系 , $R\subseteq A\times A$ ;

如果 $R$ 关系是 自反 , 对称 , 传递 的 , 那么称 $R$ 关系是 等价关系 ;

二、等价关系示例

1. 关系 $1$ : $x$ 与 $y$ 年龄相同 ;

• 自反 : $x$ 与 $x$ 年龄相同 ; 自反 成立 ;
• 对称 : $x$ 与 $y$ 年龄相同 , $y$ 与 $x$ 年龄相同 ; 对称 成立 ;
• 传递 : $x$ 与 $y$ 年龄相同 , $y$ 与 $z$ 年龄相同 , $x$ 与 $z$ 年龄相同 ; 传递 成立 ;
• 等价关系 : 该关系是 自反 , 对称 , 传递 的 , 因此该关系 是等价关系 ;

由上边可以看出 , 等价关系是用于分类的 , 同一年出生的人可以划分到一个等价类中 ;

2. 关系 $2$ : $x$ 与 $y$ 姓氏相同 ;

• 自反 : $x$ 与 $x$ 姓氏相同 ; 自反 成立 ;
• 对称 : $x$ 与 $y$ 姓氏相同 , $y$ 与 $x$ 姓氏相同 ; 对称 成立 ;
• 传递 : $x$ 与 $y$ 姓氏相同 , $y$ 与 $z$ 姓氏相同 , $x$ 与 $z$ 姓氏相同 ; 传递 成立 ;
• 等价关系 : 该关系是 自反 , 对称 , 传递 的 , 因此该关系 是等价关系 ;

3. 关系 $3$ : $x$ 年龄大于等于 $y$ ;

• 自反 : $x$ 年龄大于等于 $x$ ; 自反 成立 ;
• 对称 : $x$ 年龄大于等于 $y$ , $y$ 年龄大于等于 $x$ ; 对称 不成立 ;
• 传递 : $x$ 年龄大于等于 $y$ , $y$ 年龄大于等于 $z$ , $x$ 年龄大于等于 $z$ ; 传递 成立 ;
• 等价关系 : 该关系是 自反 , 传递 的 , 不是对称的 , 因此该关系 不是等价关系 ;

4. 关系 $4$ : $x$ 与 $y$ 选修同一门课程 ;

• 自反 : $x$ 与 $x$ 选修同一门课程 ; 自反 成立 ;
• 对称 : $x$ 与 $y$ 选修同一门课程 , $y$ 与 $x$ 选修同一门课程 ; 对称 成立 ;
• 传递 : $x$ 与 $y$ 选修同一门课程 , $y$ 与 $z$ 选修同一门课程 , $x$ 与 $z$ 选修同一门课程 ; 上述情况不一定成立 , $x,y$ 可能同时选修音乐 , $y,z$ 同时选修历史 , $x,z$ 没有选修相同的课程 ; 传递 不成立 ;
• 等价关系 : 该关系是 自反 , 对称 的 , 不是传递的 , 因此该关系 不是等价关系 ;

5. 关系 $5$ : $x$ 体重大于 $y$ ;

• 自反 : $x$ 体重大于 $x$ ; 自反 不成立 ;
• 对称 : $x$ 体重大于 $y$ , $y$ 体重大于 $x$ ; 对称 不成立 ;
• 传递 : $x$ 体重大于 $y$ , $y$ 体重大于 $z$ , $x$ 体重大于 $z$ ; 传递 成立 ;
• 等价关系 : 该关系是 传递 的 , 不是 自反 , 对称 的 , 因此该关系 不是等价关系 ;

三、等价关系与闭包示例

$A$ 集合是非空集合 , $A\ne \varnothing$ , 并且 $R$ 关系是 $A$ 集合上的二元关系 , $R\subseteq A\times A$ ;

对 $R$ 关系求三种闭包 , 有 $6$ 种不同的顺序 , 讨论这些求闭包结果的性质 ;

$6$ 种求闭包的性质 :

• $rts(R)$ : 先求对称闭包 , 再求传递闭包 , 最后求自反闭包 ;

• $trs(R)$ : 先求对称闭包 , 再求自反闭包 , 最后求传递闭包 ;

• $tsr(R)$ : 先求自反闭包 , 再求对称闭包 , 最后求传递闭包 ;

• $rst(R)$ : 先求传递闭包 , 再求对称闭包 , 最后求自反闭包 ;

• $srt(R)$ : 先求传递闭包 , 再求自反闭包 , 最后求对称闭包 ;

• $str(R)$ : 先求自反闭包 , 再求传递闭包 , 最后求对称闭包 ;

参考 : 【集合论】关系闭包 ( 关系闭包求法 | 关系图求闭包 | 关系矩阵求闭包 | 闭包运算与关系性质 | 闭包复合运算 ) 五、闭包复合运算

• $rs(R)=sr(R)$ : 对称闭包 与 自反闭包 的复合运算 , 无论顺序如何 , 先求哪个都一样 ;
• $rt(R)=tr(R)$ : 传递闭包 与 自反闭包 的复合运算 , 无论顺序如何 , 先求哪个都一样 ;
• $st(R)\subseteq ts(R)$ : 传递闭包 与 对称闭包 的符合运算 , 顺序不同 , 其计算结果不同 ;

因此这里分为两大类

• ① 先求传递闭包 , 再求对称闭包
• ② 先求对称闭包 , 再求传递闭包

先求对称闭包 , 再求传递闭包 :

• $rts(R)$ : 先求对称闭包 , 再求传递闭包 , 最后求自反闭包 ;
• $trs(R)$ : 先求对称闭包 , 再求自反闭包 , 最后求传递闭包 ;
• $tsr(R)$ : 先求自反闭包 , 再求对称闭包 , 最后求传递闭包 ;

固定 ts 运算的顺序 , 先 t 后 s , r 运算可以放在任意位置 ;

自反与其它两个闭包运算没有冲突 , 在任意位置都可以 ;

对称与传递 , 后求的传递 , 因此其结果是传递的 ;

上述三个顺序产生的结果是 自反 , 对称 , 传递 的 , 其满足等价关系 , 结果是 等价闭包 ;

先求对传递包 , 再求对称闭包 :

• $rst(R)$ : 先求传递闭包 , 再求对称闭包 , 最后求自反闭包 ;
• $srt(R)$ : 先求传递闭包 , 再求自反闭包 , 最后求对称闭包 ;
• $str(R)$ : 先求自反闭包 , 再求传递闭包 , 最后求对称闭包 ;

固定 st 运算的顺序 , 先 s ( 对称闭包 ) 后 t ( 传递闭包 ) , r ( 对称闭包 ) 运算可以放在任意位置 ;

自反与其它两个闭包运算没有冲突 , 在任意位置都可以 ;

对称与传递 , 先求的传递 , 然后求对称 , 对称会破坏传递 , 因此其结果不是传递的 ;

上述三个顺序产生的结果是 自反 , 对称 , 不传递 的 , 其不满足等价关系 ;

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