一、 集合论体系

集合论体系 :

• 朴素集合论 : 包含悖论 ; 朴素集合论 中 不能精确定义集合 ;
• 公理集合论 : 为了消除朴素集合论中的悖论 , 所建立的公理集合论 ; 公理集合论比较严密 , 通过一组公理描述什么是集合 ;

二、 集合表示

集合表示 : 使用 大写字母 表示集合 , 小写字母 表示集合中的元素 ;

列举法 : 列举出集合中的所有元素 , 元素之间使用逗号分开 , 使用花括号 “{}” 括起来 ; 如 : $A=\{0,1,2,3\}$ , $B=\{0,1,2,3,\cdots \}$

描述法 : 使用 谓词 $P(x)$ 表示 $x$ 具有性质 $P$ , 使用 $\{x|P(x)\}$ 表示具有性质 $P$ 的集合 ;

$P(x)$ 表示 $x$ 是英文字母 , $\{x|P(x)\}$ 表示英文字母集合 ;

$P(x)$ 表示 $x$ 是偶数 , $\{x|P(x)\}$ 表示偶数集合 ;

集合表示注意事项 :

不重复 : 集合中 不能有重复元素 ;

无顺序 : 集合中的元素是 无序的 ;

集合表示方法转化 : 集合的表示方法可以互相转化 , 描述法 和 列举法 可以互相转化 ;

表示方法转化示例 :

列举法 : $A=\{0,2,4,6,\cdots \}$

描述法 : $A=\{x|x\ge 0并且x是偶数\}$

三、 数集合

自然数集合 : $N=\{0,1,2,\cdots \}$

整数集合 : $Z=\{0,\pm 1,\pm 2,\cdots \}$

有理数集合 : $Q$

实数集合 : $R$

复数集合 : $C$

三、 集合关系

集合关系 有 包含关系 , 相等关系 , 另外关系的性质有 自反省 , 反对称性性 , 传递性 ;

1、 包含关系

集合的包含关系 :

描述 : $A,B$ 两个集合 , 如果 $B$ 中的元素 都是 $A$ 中的元素 , 称 $B$ 集合 是 $A$ 集合的 子集 , $A$ 包含 $B$ , $B$ 包含于 $A$ ;

记作 : $B\subseteq A$

符号化形式 : $B\subseteq A\iff \forall x(x\in B\to x\in A)$ , 对于所有的对象 , 只要属于 $B$ 集合 , 就属于 $A$ 集合 ;

集合的不包含关系 :

描述 : 如果 集合 $B$ 不是 集合 $A$ 的子集

记作 : $B⊈A$ ;

符号化形式 : $B⊈A\iff \exists x(x\in B\wedge x\notin A)$ , 对于所有的对象 , 存在对象属于 $B$ 集合 , 不属于 $A$ 集合 ;

包含示例 :

$A=1,2,3,4$ , $B=1,2,3$ , $C=1,2$

有 $C\subseteq B$ , $C\subseteq A$ , $B\subseteq A$

2、 相等关系

集合的相等关系 :

描述 : $A,B$ 两个集合 , 如果 $A$ 包含 $B$ , 并且 $B$ 包含 $A$ , 则称 $A$ 与 $B$ 相等 ;

记作 : $A=B$

符号化表示 : $A=B\iff \forall x(x\in B\leftrightarrow x\in A)$

3、 集合间包含关系性质

集合间包含关系性质 : 下面的 $A,B,C$ 是三个集合 , 以下的命题是真命题 ;

自反性 : $A\subseteq A$ , 集合真包含它自己 ;

反对称性 : 若 $A\subseteq B$ 且 $B\ne A$ , 则 $B⊈A$
( 该性质等价于 若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$ , 则 $A=B$ )

传递性 : 若 $A\subseteq B$ 且 $B\subseteq C$ , 则 $A\subseteq C$

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

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