一、划分

划分 :

非空集合 $A$ , $A\ne \varnothing$ ,
$A$ 集合的一个 划分 是 集族 $\mathcal{A}$ ,
该 集族 $\mathcal{A}$ 包含于 $A$ 集合的幂集 , $\mathcal{A}\subseteq P(A)$ , 集族中的元素都属于 $A$ 集合的幂集 ;

集族 $\mathcal{A}$ 中的元素是 集合 , 称为 划分块 ( Block ) , 集合中的元素都是 $A$ 集合中的元素 ;

该集族 $\mathcal{A}$ 有以下性质 :

① $\mathcal{A}$ 集族中每个元素都非空
$$\varnothing \notin \mathcal{A}$$

② $\mathcal{A}$ 集族中任意两个元素 ( 划分块 / 集合 ) 是不相交的

$$\forall x,y(x,y\in \mathcal{A}\wedge x\ne y\Rightarrow x\cap y=\varnothing )$$

③ $\mathcal{A}$ 集族中所有的元素 ( 划分块 / 集合 ) 的并集是 $A$ 集合

$$\bigcup \mathcal{A}=A$$

商集就是一个划分 , 该集族中的元素是等价类集合 ;

商集参考 : 【集合论】等价类 ( 等价类概念 | 等价类示例 | 等价类性质 | 商集 | 商集示例 ) 四、商集

二、划分示例

全集是 $E$ ,

取 $E$ 的 $n$ 个 非平凡 的 真子集 , 非平凡的含义是既不是空集 , 也不是它自己 ;

$$\varnothing \ne A_1,A_2,\cdots ,A_n\subset E$$

1. 划分 1 基于$1$ 个元素

集族 ${\mathcal{A}}_i=\{A_i,\sim A_i\}$ , $i=1,2,\cdots ,n$ ,
${\mathcal{A}}_i$ 集族中包含 $A_i$ 集合及其补集 $\sim A_i$ , 该集族 ${\mathcal{A}}_i$ 满足上述划分的三个性质 , 是一个划分 ;

2. 划分 2基于$2$ 个元素

集族 ${\mathcal{A}}_i=\{A_i\cap A_j,\sim A_i\cap A_j,A_i\cap \sim A_j,\sim A_i\cap \sim A_j\}-\{\varnothing \}$ , $i,j=1,2,\cdots ,n\wedge i\ne j$

根据如下文氏图进行理解 :

• $A_i\cap A_j$ 对应区域 ①
• $\sim A_i\cap A_j$ 对应区域 ③
• $A_i\cap \sim A_j$ 对应区域 ②
• $\sim A_i\cap \sim A_j$ 对应区域 ④
• 如果 $A_i$ 与 $A_j$ 不相交 , 那么区域 ① 就是空集 , 划分类不能是空集 , 此时就需要减去空集 , 对应 $-\{\varnothing \}$

3. 划分 3 基于$3$ 个元素

集族 ${\mathcal{A}}_{ijk}=\{A_i\cap A_j\cap A_k,A_i\cap \sim A_j\cap \sim A_k,\sim A_i\cap A_j\cap \sim A_k,\sim A_i\cap \sim A_j\cap A_k,\sim A_i\cap \sim A_j\cap \sim A_k\}-\{\varnothing \}$

4. 划分 4 基于$n$ 个元素

集族

A 1 , 2 , ⋯   , n = { A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ A n , A 1 ∩ ∼ A 2 ∩ ⋯ ∩ ∼ A n , ∼ A 1 ∩ A 2 ∩ ⋯ ∩ ∼ A n , ⋮ ∼ A 1 ∩ ∼ A 2 ∩ ⋯ ∩ ∼ A n } − { ∅ }

规则 :
$A_1$ 到 $A_n$ 的并集 ,
$n$ 个 $\sim A_1$ 到 $\sim A_n$ 的并集 , 其中每个并集中 , 只有一个不是补集 ,
$\sim A_1$ 到 $\sim A_n$ 的并集 ;

三、划分与等价关系定理

划分与等价关系定理 :

前提 : 集合 $A$ 非空 , $A\ne \varnothing$

$R$ 关系是 $A$ 集合上的等价关系 , 可以推导出 , $A$ 集合关于 $R$ 关系的商集 $A/R$ 是 $A$ 的划分 ;

$$R是A上等价关系\Rightarrow A/R是A的划分$$

集族 $\mathcal{A}$ 是 $A$ 集合上的划分 , 定义一个 二元关系 是 同块关系 $R_{\mathcal{A}}$ ,
该 同块关系 是 $A$ 集合上的 等价关系 ,
该 同块关系 是 由划分 $\mathcal{A}$ 定义的关系 ;

$$x{R}_{\mathcal{A}}y\iff \exists z(z\in \mathcal{A}\wedge x\in z\wedge y\in z)$$

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