一、 集族

集族 : 除 $P(A)$ 幂集之外 , 由 集合构成的集合 , 称为集族 ;

带指标集的集族 : 集族中的集合 , 都赋予记号 , 就是带指标集的集族 ;

$\mathcal{A}$ 是一个集族 , $S$ 是一个集合

对于任意 $\alpha \in S$ , 存在 唯一的 $A_{\alpha }\in \mathcal{A}$ ($\alpha$ 是 $S$ 中的元素 , $A_{\alpha }$ 是集族 $\mathcal{A}$ 中的集合元素 )

并且 $\mathcal{A}$ 集族中的任何集合元素 , 都对应 $S$ 集合中的某一个元素

称 $\mathcal{A}$ 集族 是以 $S$ 集合 为指标集的集族

$S$ 集合 是 $\mathcal{A}$ 集族 的 指标集

记作 : $\mathcal{A}=\{A_{\alpha }|\alpha \in S\}$

如果将 $\varnothing$ 看做集族 , $\varnothing$ 称为 空集族 ;

二、 集族示例

1. 集族示例 1 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限

集合 $A_1=\{1\}$ , 集合 $A_2=\{2\}$ , 那么 集族 $\mathcal{A}=\{A_1,A_2\}$ 是以 $\{1,2\}$ 集合为指标集的集合 ;

2. 集族示例 2 : 指标集有限 , 集族中集合元素有限

$p$ 是素数

集合 $A_k=\{x|x=k(modp)\}$ , 其中 $k=0,1,2,\cdots ,p-1$

集族 $\mathcal{A}=\{A_0,A_1,A_2,\cdots ,A_{p-1}\}$ 是以 集合$\{0,1,2,\cdots ,p-1\}$ 为指标集的 集族 ;

记作 : $\mathcal{A}=\{A_k|k\in \{0,1,2,\cdots ,p-1\}\}$

3. 集族示例 3 : 指标集无限 , 集族中集合元素有限

集合 $An=\{x\in N|x=n\}$ 是由一个自然数元素 $n$ 组成的集合 ;

集族 $\mathcal{A}=\{A_n|n\in N\}$ 就是以 $N$ 为指标集的集族 ;

4. 集族示例 4 : 指标集 $N_{+}$ 无限 , 集族中的每个元素集合中的元素也是无限的 ;

$N_{+}=N-0$ , $N_{+}$ 是除 $0$ 意外的自然数集合

集合 $A_n=\{x|0\le x<1/n\wedge n\in N\}$ , $x$ 是 $[0,1)$ 区间的实数集合 , $n$ 表示除 $0$ 以外的自然数 ;

$A_n$ 集合中的元素是无限的 , 其取值范围是 $[0,1/n)$ , 是个区间 ;

集族 $\mathcal{A}=\{A_n|n\in N_{+}\}$ 就是以 $N_{+}$ 为指标集的集族 ;

三、 多重集

多重集 : 全集 $E$ , $E$ 中的元素 , 多次在集合 $A$ 中出现 , 称 集合 $A$ 是多重集 ;

重复度 : $E$ 中的元素 $a$ 在 集合 $A$ 中 出现 $k$ 次 , 称 $a$ 元素在 $A$ 集合中重复度为 $k$ ;

多重集示例 :

全集 $E=\{a,b,c,d\}$

多重集 $A=\{a,a,a,c,c,d\}$ ,

$a$ 元素在 $A$ 集合的重复度为 $3$

$b$ 元素在 $A$ 集合的重复度为 $0$

$c$ 元素在 $A$ 集合的重复度为 $2$

$d$ 元素在 $A$ 集合的重复度为 $1$

集合与多重集关系 : 集合可以看做重复度小于等于 $1$ 的多重集 ;

文章来源: hanshuliang.blog.csdn.net，作者：韩曙亮，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：hanshuliang.blog.csdn.net/article/details/108875562