一、关系闭包相关定理 ( 闭包运算不动点 )

$R$ 关系是 $A$ 集合上的二元关系 , $R\subseteq A$ , 且 $A$ 集合不为空集 , $A\ne \varnothing$

$R$ 关系是自反的 , 当且仅当 $R$ 关系的自反闭包 $r(R)$ 也是 $R$ 关系本身 ;

$$R自反\iff r(R)=R$$

$R$ 关系是对称的 , 当且仅当 $R$ 关系的对称闭包 $s(R)$ 也是 $R$ 关系本身 ;

$$R对称\iff s(R)=R$$

$R$ 关系是传递的 , 当且仅当 $R$ 关系的传递闭包 $t(R)$ 也是 $R$ 关系本身 ;

$$R传递\iff t(R)=R$$

二、关系闭包相关定理 ( 闭包运算单调性 )

$R_1,R_2$ 关系是 $A$ 集合上的二元关系 , $R_2$ 关系包含 $R_1$ 关系 , $R_1\subseteq R_2\subseteq A\times A$ , 且 $A$ 集合不为空集 , $A\ne \varnothing$

$R_1$ 关系的自反闭包 包含于 $R_2$ 关系的自反闭包

$$r(R_1)\subseteq r(R_2)$$

$R_1$ 关系的对称闭包 包含于 $R_2$ 关系的对称闭包

$$s(R_1)\subseteq s(R_2)$$

$R_1$ 关系的传递闭包 包含于 $R_2$ 关系的传递闭包

$$t(R_1)\subseteq t(R_2)$$

三、关系闭包相关定理 ( 闭包运算与并运算之间的关系 )

$R_1,R_2$ 关系是 $A$ 集合上的二元关系 , $R_2$ 关系包含 $R_1$ 关系 , $R_1\subseteq R_2\subseteq A\times A$ , 且 $A$ 集合不为空集 , $A\ne \varnothing$

自反闭包并集 : $R_1$ 关系 与 $R_2$ 关系 并集 的 自反闭包 , 等于 $R_1$ 关系的自反闭包 与 $R_2$ 关系的自反闭包 的并集 ;

$$r(R_1\cup R_2)=r(R_1)\cup r(R_2)$$

对称闭包并集 : $R_1$ 关系 与 $R_2$ 关系 并集 的 对称闭包 , 等于 $R_1$ 关系的对称闭包 与 $R_2$ 关系的对称闭包 的并集 ;

$$s(R_1\cup R_2)=s(R_1)\cup s(R_2)$$

传递闭包并集 : $R_1$ 关系 与 $R_2$ 关系 并集 的 传递闭包 , 包含 $R_1$ 关系的传递闭包 与 $R_2$ 关系的传递闭包 的并集 ;

$$t(R_1\cup R_2)\supseteq t(R_1)\cup t(R_2)$$

四、传递闭包并集反例

传递闭包 的反例 :

集合 $A=\{a,b\}$

关系 $R_1=\{<a,b>\}$ , 关系 $R_2=\{<b,a>\}$

$R_1$ 关系的传递闭包 : $t(R_1)=\{<a,b>\}$

$R_2$ 关系的传递闭包 : $t(R_2)=\{<b,a>\}$

并集的闭包 : $t(R_1\cup R_2)=\{<a,b>,<a,a>,<b,a>,<b,b>\}$

闭包的并集 : $t(R_1)\cup t(R_2)=\{<a,b>,<b,a>\}$ , 该关系是非传递的 ;

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