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在线性空间中，向量之间仅有加法与数乘两种
代数运算，而无向量长度、向量夹角等度量概念。向量内积正是适应这种要求而引入的。称实内积空间为欧氏空间，称复内积空间为酉空间。
线性空间+ 内积 内积空间

一、内积空间

二、 向量的度量

【例一】求向量的夹角：

三、向量的正交化方法

１. 正交的概念

当（a,b）=0时，称a和b正交，零向量和任何向量都正交。

２. 正交向量组的概念

若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．
说明：
（1）零向量与任意向量都正交；
（2）酉（欧氏空间）中的勾股定理：

3.标准正交向量组（标准正交组）

正交单位向量组成的向量组

4. 正交向量组a1 , , ,an 线性无关

5. 正交基

若 a1 , , ,an是内积空间V 的一个基，且是正交向量组，则称 a1 , , ,an是内积空间V 的一个正交基。
【例2】：
用正交基表示向量，R3的一个正交基。

【例3】：
在R4中求与a1,a2,a3都正交的单位向量。

6. 标准正交基（规范正交基）

7. 若e1,… en 是内积空间V 的一个基，且e1,… en是标准正交向量组，则称e1,… en 是内积空间V的一个标准正交基

7. 求标准正交向量组的方法(施密特正交化方法）

【例3】用施密特正交化方法，将向量组正交规范化：
a1 (1,1,1,1), a2 (1, -1,0,4), a3(3,5,1, -1)

8、正交矩阵

定理：A为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行）向量组都是标准正交向量组．

四、度量矩阵及性质

设 a1,a2 ,a3,an为n维欧氏空间V的基，任何向量可由基表示，表示系数称为该向量的坐标。现任意两个向量的内积有基表示会使什么样？

五、酉空间

6.1 支持向量分类机

1、引例：心脏病诊断

2、线性可分问题的最大间隔原则

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