学习笔记|实对称矩阵正定与合同于E的等价性证明
【摘要】 正定是一个非常重要的概念，除了在正定核中有应用（可参见学习笔记|正定核）外，与合同等许多矩阵重要概念存在紧密的关联，下面来看矩阵的性质6（前5个性质可参见45 学习笔记|矩阵正定的基本性质）。证：必要性：A合同于E⇒∃可逆矩阵C，s.t.（可参见学习笔记|矩阵合同）对有使得那么所以A正定。充分性：先证，对∀对称矩阵A，∃可逆矩阵P，有其中，Λ表示对角矩阵。令有将上式记为同时令令所以，对∀对称...
正定是一个非常重要的概念，除了在正定核中有应用（可参见学习笔记|正定核）外，与合同等许多矩阵重要概念存在紧密的关联，下面来看矩阵的性质6（前5个性质可参见45 学习笔记|矩阵正定的基本性质）。
证：
必要性：
A合同于E
⇒∃可逆矩阵C，s.t.
（可参见学习笔记|矩阵合同）
对
有
使得
那么
所以A正定。
充分性：
先证，对∀对称矩阵A，∃可逆矩阵P，有
其中，Λ表示对角矩阵。
令
有
将上式记为
同时令
令
所以，对∀对称矩阵A，∃可逆矩阵P，有
则
取
因此，
令
则
令
则
所以A合同于E。
得证。
参考文献
1.https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E5%AE%9A%E7%9F%A9%E9%98%B5/11030459?fr=aladdin
2.https://zhidao.baidu.com/question/1890381703984202268.html
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