2. 如果A可逆，则r(AB)=r(BA)=r(B)

（可参见学习笔记|矩阵的等价矩阵等价的性质4）

即存在有限的初等矩阵

有

（可参见学习笔记|矩阵的等价矩阵等价的定义）

即

（可参见学习笔记|矩阵的初等变换的2.3初等矩阵都可逆）

因此，有

（可参见学习笔记|矩阵秩的性质之一）

同理可得r(BA)=r(B)

所以r(AB)=r(BA)=r(B)

3. r(AB)≤min(r(A),r(B))

证：

假设

令min(r(A),r(B))=r

假设r(A)=r

则r≤min(m,n,l)

对A进行有限个初等行变换和列变换可以得到

（可参考学习笔记|矩阵的等价矩阵等价的性质4的证明）

则存在可逆矩阵P和Q，使得

那么

令

显然，有r(C)=r(B)

将C改写成

当r(B)=r时，

证：

（可参见学习笔记|矩阵秩的定义与证明）

证：

（可参见学习笔记|矩阵秩的定义与证明）

6. 对∀k≠0，r(kA)=r(A)

证：

假设A为m行n列矩阵。

得证。

7. r(A)=0当且仅当A=0

证：

显然，当A=0时，r(A)=0。

当r(A)=0时，A不存在非0行向量，所以A=0。

8. r(A+B)≤r(A)+r(B)

证：

所以

9. r(A)+r(B)-n≤r(AB)

证：

所以

所以r(A)+r(B)-n≤r(AB)

参考文献：

1.https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%A7%A9/6285316?fr=aladdin