增强学习（三）----- MDP的动态规划解法

上一篇我们已经说到了，增强学习的目的就是求解马尔可夫决策过程(MDP)的最优策略，使其在任意初始状态下，都能获得最大的Vπ值。(本文不考虑非马尔可夫环境和不完全可观测马尔可夫决策过程(POMDP)中的增强学习)。

那么如何求解最优策略呢？基本的解法有三种：

动态规划法(dynamic programming methods)

蒙特卡罗方法(Monte Carlo methods)

时间差分法(temporal difference)。

动态规划法是其中最基本的算法，也是理解后续算法的基础，因此本文先介绍动态规划法求解MDP。本文假设拥有MDP模型M=(S, A, Psa, R)的完整知识。

1. 贝尔曼方程（Bellman Equation）

上一篇我们得到了Vπ和Qπ的表达式，并且写成了如下的形式

在动态规划中，上面两个式子称为贝尔曼方程，它表明了当前状态的值函数与下个状态的值函数的关系。

优化目标π*可以表示为：

分别记最优策略π*对应的状态值函数和行为值函数为V*(s)和Q*(s, a)，由它们的定义容易知道，V*(s)和Q*(s, a)存在如下关系:

状态值函

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