计算机常用的数制及编码

数制也称计数制，是指用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。编码是采用少量的基本符号，选用一定的组合原则，以表示大量复杂多样的信息的技术。计算机是信息处理的工具，任何信息必须转换成二进制形式数据后才能由计算机进行处理、存储和传输。

1.1.1.1.1.1       二进制数

二进制数的表示

我们习惯使用的十进制数是由0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个不同的符号组成，每一个符号处于十进制数中不同的位置时，它所代表的实际数值是不一样的。例如1999年可表示成

1×1000＋9×100＋9×10＋9×1

＝1×10³＋9×10²＋9×10¹＋9×10⁰

式中每个数字符号的位置不同，它所代表的数值也不同，这就是经常所说的个位、十位、百位、千位……的意思。二进制数和十进制数一样，也是一种进位计数制，但它的基数是2。数中0和1的位置不同，它所代表的数值也不同。例如二进制数1101表示十进制数13。

       （1101）₂ _ 1×2³+1×2²+0×2¹+1×2⁰

                _8+4+0+1_13

一个二进制数具有下列两个基本特点：

·两个不同的数字符号，即0和1

·逢二进一

一般我们用（    ）_角标表示不同进制的数。例如：十进制用（    ）₁₀表示，二进制数用（    ）₂表示。

在微机中，一般在数字的后面，用特定字母表示该数的进制。例如：

B—二进制       D-十进制（D可省略）     O-八进制      H-十六进制

1.1.1.1.1.2       二进制与其它数制

在进位计数制中有数位，基数和位权三个要素。数位是指数码在一个数中所处的位置；基数是指在某种进位计数制中，每个数位上所能使用的数码的个数。例如：二进制数基数是2，每个数位上所能使用的数码为0和1二个数码。在数制中有一个规则，如是N进制数必须是逢N进1。对于多位数，处在某一位上的“1”所表示的数值的大小，称为该位的位权。例如，二进制第2位的位权为2，第3位的位权为4。一般情况下，对于N进制数，整数部分第i位的位权为N^i-1，而小数部分第j位的位权为N^-j。

下面主要介绍与计算机有关的常用的几种进位计数制。

1． 十进制（十进位计数制）

具有十个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，其基数为10；十进制数的特点是逢十进一。例如：

      （1011）₁₀ _1×10³+0×10²+1×10¹+1×10⁰

2．   八进制（八进位计数制）

具有八个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7，其基数为8；八进制数的特点是逢八进一。例如：

      （1011）₈ _1×8³+0×8²+1×8¹+1×8⁰

                              _ （521）₁₀

3．   十六进制（十六进位计数制）

具有十六个不同的数码符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F，其基数为16，十六进制数的特点是逢十六进一。例如：

  （1011）₁₆ _ 1×16³+0×16²+1×16¹+1×16⁰

                _ （4113）₁₀

表 1-1    四位二进制数与其它数制的对应表

1.1.1.1.1.3       不同进制数之间的转换

用计算机处理十进制数，必须先把它转化成二进制数才能被计算机所接受，同理，计算结果应将二进制数转换成人们习惯的十进制数。这就产生了不同进制数之间的转换问题。

1）   十进制数与二进制数之间的转换

⑴十进制整数转换成二进制整数

    一个十进制整数转换为二进制整数的方法如下：

把被转换的十进制整数反复地除以2，直到商为0，所得的余数（从末位读起）就是这个数的二进制表示。简单地说就是“除2取余法”。

例如，将十进制整数（215）₁₀转换成二进制整数

        于是（215）₁₀＝（11010111）₂

十进制整数转换成二进制整数的方法清楚以后，那么，十进制整数转换成八进制或十六进制就很容易了。十进制整数转换成八进制整数的方法是“除8取余法”，十进制整数转换成十六进制整数的方法是“除16取余法”。

（2）二进制数转换成十进制数

把二进制数转换为十进制数的方法是：将二进制数按权展开求和即可。

例如，将（10110011.101）₂ 转换成十进制数。

1×2⁷          代表十进制数128

0×2⁶          代表十进制数0

1×2⁵          代表十进制数32

1×2⁴          代表十进制数16

0×2³          代表十进制数0

0×2²          代表十进制数0

1×2¹          代表十进制数2

1×2⁰          代表十进制数1

1×2^-1         代表十进制数0.5

0×2^-2         代表十进制数0

1×2^-3         代表十进制数0.125

于是，（10110011.101）₂＝128＋32＋16＋2＋1＋0.5＋0.125＝（179.625）₁₀。同理，非十进制数转换成十进制数的方法是，把各个非十进制数按权展开求和即可。如把二进制数（或八进制数或十六进制数）写成2（或8或16）的各次幂之和的形式，然后再计算其结果。

2） 二进制数与八进制数之间的转换

二进制数与八进制数之间的转换十分简捷方便，他们之间的对应关系是：八进制数的每一位对应二进制数的三位。

（1） 二进制数转换成八进制数

由于二进制数和八进制数之间存在特殊关系，即8¹_2³，因此转换方法比较容易，具体转换方法是：将二进制数从小数点开始，整数部分从右向左3位一组，小数部分从左向右3位一组，不足三位用0补足即可。

例如，将（10110101110.11011）₂化为八进制数。

解：010     110      101      110  .  110      110

    ↓       ↓       ↓       ↓      ↓       ↓

     2        6       5       6   .  6        6

于是   （10110101110.11011）₂＝（2656.66）₈

（2） 八进制数转换成二进制数

方法：以小数点为界，向左或向右每一位八进制数用相应的三位二进制数取代，然后将其连在一起即可。

例如，将（6237.431）₈转换为二进制数。

解：  6      2     3      7   .  4      3      1

    ↓     ↓     ↓     ↓       ↓     ↓     ↓

   110    010   011    111   . 100    011    001

于是    （6237.431）₈＝（110010011111.100011001）₂

3） 二进制数与十六进制数之间的转换

（1）二进制数转换成十六进制数

二进制数的每四位，刚好对应于十六进制数的一位（16¹_2⁴），其转换方法是：将二进制数从小数点开始，整数部分从右向左4位一组，小数部分从左向右4位一组，不足四位用0补足，每组对应一位十六进制数即可得到十六进制数。

例1：将二进制数（101001010111.110110101） ₂  转换为十六进制数。

解：1010      0101      0111   .   1101      1010      1000

     ↓       ↓        ↓         ↓        ↓        ↓

      A         5         7   .     D         A         8

于是    （101001010111）₂＝（A57.DA1）₁₆

例2：将二进制数（100101101011111）₂  转换为十六进制数。

解：0100      1011      0101      1111

     ↓       ↓        ↓        ↓

     4          B        5          F

于是    （100101101011111）₂＝（4B5F）₁₆

（1）     （2）        十六进制数转换成二进制数

方法：以小数点为界，向左或向右每一位十六进制数用相应的四位二进制数取代，然后将其连在一起即可。

例如，将（3AB.11）₁₆转换成二进制数。

解：3      A        B   .   1      1

   ↓      ↓      ↓       ↓     ↓

  0011    1010   1011   .  0001  0001

于是（3AB.11）₁₆＝（1110101011.00010001)₂

1.1.1.1.1.4       二进制数在计算机内的表示

计算机内表示的数，分成整数和实数两大类。在计算机内部，数据是以二进制的形式存储和运算的。数的正负用高位字节的最高位来表示，定义为符号位，用“0”表示正数，“1”表示负数。例如，二进制数+1101000在机器内的表示为：

↑

符号位

ASCII码

计算机中，对非数值的文字和其他符号进行处理时，要对文字和符号进行数字化处理，即用二进制编码来表示文字和符号。字符编码（Character Code）是用二进制编码来表示字母、数字以及专门符号。

在计算机系统中，有两种重要的字符编码方式：ASCII和EBCDIC。EBCDIC主要用于IBM的大型主机，ASCII用于微型机与小型机。下面我们简要介绍ASCII码。

目前计算机中普遍采用的是ASCII（AmericanStandard Code for Information Interchange）码，即美国信息交换标准代码。ASCII码有7位版本和8位版本两种，国际上通用的是7位版本，7位版本的ASCII码有128个元素，只需用7个二进制位（2⁷＝128）表示，其中控制字符32个，阿拉伯数字10个，大小写英文字母52个，各种标点符号和运算符号34个。在计算机中实际用8位表示一个字符，最高位为“0”。书后附录一列出了全部128个符号的ASCII码。例如，数字0的ASCII码为48，大写英文字母A的ASCII码为65，空格的ASCII码为32等等。有的计算机教材中的ASCII码用16进制数表示，这样，数字0的ASCII码为30H，字母A的ASCII为41H，…。

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