1. 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩

证：

初等变换包括初等行变换和初等列变换，因为矩阵的行秩=列秩=秩，行变换与列变换对矩阵秩的影响是一样的，因此只证初等行变换不改变矩阵的秩。

矩阵的初等行变换包括左乘E(i,j)，左乘E(i(k))，左乘E(j,i(k))三种。

（参见学习笔记|矩阵的初等变换）

左乘E(i,j)即交换第i行与第j行，矩阵的行向量组的秩与行向量的顺序无关，所以左乘E(i,j)不改变矩阵的行秩，即不改变矩阵的秩。

左乘E(i(k))即为第i行乘以k。假设

不全为0，有

不全为0。同时对于

没有非0解，则

没有非0解。所以

为E(i(k))A的极大无关组，E(i(k))A的秩=r+1=A的秩。

有

不全为0，则

线性表出。也就是说，

也是E(i(k))A的极大无关组，E(i(k))A的秩=r=A的秩。

∴r(E(i(k))A)=r(A)

左乘E(j,i(k))即为第i行乘以k加到第j行。不仿假设j>i，则

不全为0，有

不全为0。同时，

没有非0解，可得

没有非0解。所以

为E(j,i(k))A的极大无关组，E(j,i(k))A秩=r+2=A的秩。

不全为0。

不全为0。同时，

没有非0解可得

系数没有非0解，所以

为E(j,i(k))A的极大无关组，E(j,i(k))A秩=r+1=A的秩。

不全为0，同样可推导出

为E(j,i(k))A的极大无关组，E(j,i(k))A秩=r+1=A的秩。

不全为0。则

该初等变换改变矩阵A的秩，即，E(j,i(k))A秩=r+1=A的秩。

有

可见该初等变换不改变矩阵A的秩。

综上可得，矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。

参考文献：

1.https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%A7%A9/6285316?fr=aladdin