3F = 2E − h：一条三角网格自检公式的适用边界

一张三角网格，最容易被忽略的检查是「数数」：三角形有几个、边有几条、边界边有几条。这三个数之间有一条固定的关系：

3F = 2E − h

其中 F 是三角形数，E 是去重后的边数，h 是只属于一个三角形的边数，也就是边界边数。

这条式子在自检里只占一行，却很有用。但它的适用范围和检验力，比「欧拉公式」这四个字听起来要窄。先把推导写清楚，再说它能查什么、查不到什么。

公式怎么来的

数边和面的关联次数。

每个三角形有 3 条边，F 个三角形一共贡献 3F 次「边被某个三角形使用」的计数。

一条内部边被两个三角形共享，贡献 2 次；一条边界边只被一个三角形共享，贡献 1 次。设边界边数为 h，总边数为 E，那么：

3F = 2 × (E − h) + 1 × h
   = 2E − h

推导只用到「每条边最多被两个三角形共享」这个前提。它不要求网格是凸的，也不要求点集在一般位置。

如果网格是一个拓扑圆盘（没有洞、没有分离的部件），还可以结合欧拉公式写成顶点形式。只数三角形面时：

V − E + F = 1

把 E = V + F − 1 代进去，得到：

F = 2V − 2 − h

这两个形式是等价的。用哪个取决于你手上有什么：3F = 2E − h 只需要边表，F = 2V − 2 − h 还需要顶点数，并且默认网格是圆盘。如果网格有洞，欧拉示性数不再是 1，顶点形式要跟着改，而 3F = 2E − h 仍然成立——这点后面还会用到。

h 为什么不能换成凸包顶点数

最容易写错的地方，是把 h 当成「凸包顶点数」。

在没有共线边界点的点集上，两者恰好相等：凸包有几条边，网格就有几条边界边。所以用凸包顶点数代入，测试也能过。但只要凸包边上有一个共线点，两者就分开了。

举个具体的例子：一个正方形，四条边上各取几个点，再在内部放一个点。凸包只有 4 个拐点，但边界被这些共线点切成了 9 段。三角剖分产生的边界边是 9 条，不是 4 条。

如果公式里写 h = hull.hullPoints.length，这个算例会直接失败：

3F = 27
2E − 4 = 32

明明网格是对的，检查却报错。改成从边表里数 count === 1 的边：

const hEdges = del.edges.filter(e => e.count === 1).length;
3 * del.triangles.length === 2 * del.edges.length - hEdges

h = 9，两边都是 27，检查通过。

这个细节说明：h 的几何含义是「边界边」，不是「凸包拐点」。在只处理拐点的凸包实现里，这两个概念很容易被混为一谈，因为大多数随机点集上它们碰巧相等。

它能抓到什么

先看一组真实数字。60 个随机点，凸包 12 个顶点：

F = 106
E = 165
h = 12

3F = 318
2E − h = 330 − 12 = 318

这些数字都是整数，比较是精确相等，不需要容差。这是它比面积、角度检查更省事的地方：不会因为浮点误差在边界上摇摆。

它能抓到的典型问题：

• 一条边被三个以上三角形共享。这时 3F 把这条边数了 3 次，右边只按 2 次算，等式立刻不平衡。这种非流形结构通常来自插入或翻边时的重复建边。
• 重复的三角形。重复一个内部三角形，三条边都从共享 2 次变成 3 次，等式失败；重复一个边界三角形，通常只有一两条边是边界边，h 减少 1 或 2，而左边增加 3，仍然失败。唯一的例外是整个网格只有一个三角形（三条边都是边界边），重复它会让两边同时增加 3，碰巧通过。
• 边表独立维护时的更新错误。如果边表是增量维护的，翻边后旧边没删、新边没加，E 就会和三角形对不上。这个项目最后从三角形列表重算 del.edges，所以这一类错误不会出现在这里；这是实现方式的差异，不是公式的功劳。

它抓不到什么

这是这条公式最容易被高估的地方。

如果 E 和 h 都是从同一份三角形列表推出来的，那么 3F = 2E − h 在很大程度上是一个恒等式：左边数的是边-面关联次数，右边只是把这些次数按「共享两次」和「共享一次」重新分组。只要没有边被三个以上三角形共享，两边就必然相等。

一个干净的洞，它抓不到。

删掉一个内部三角形，它的三条边从「被两个三角形共享」变成「只被一个三角形共享」。于是 F 减 1，h 加 3，E 不变：

左边：3F 减 3
右边：2E − h 减 3

两边同时减 3，等式仍然成立。网格明明多了一个三角形的洞，公式却通过了。

所以，「3F = 2E − h 通过」不等于「网格没有洞」。它证明的是「边-面关联的计数方式自洽」，不是「网格覆盖了整个凸包」。

这也是为什么自检里不能只放这一条。它必须和别的检查一起用：

1. 面积恒等式：三角形面积和 = 凸包面积。洞会直接减少面积，这条能抓到；
2. 覆盖面：每个输入点至少属于一个三角形。它抓的是「有点没被插进去」，不是洞——删掉一个内部三角形，周围的三角形仍然覆盖着它的三个顶点；
3. 如果要把洞定位得更准，再加一条「网格边界边集合 = 凸包边集合」的比对。这是下面要说的增强做法，现有自检里还没有这条。

怎么让它变成真正的检查

如果想让 3F = 2E − h 有更强的检验力，关键是让等式两边来自不同的数据来源，而不是同一份三角形列表。

几种做法：

• h 从凸包来：不是数凸包拐点，而是把凸包边（包括边上的共线点切出来的段）做成集合，和网格里 count === 1 的边集合逐条比对。集合相等比数量相等更强：数量对上了，边可能不是同一批。
• V 从输入来：统计三角形实际用到的顶点，和去重后的输入点集比对。少一个点，说明它在插入时被跳过了；多一个点，说明索引错了。
• 面积从凸包来：Σ 三角形面积 与 凸包面积 比。这条是浮点比较，但缺口通常远大于容差，仍然很敏感。
• 边界环：把 count === 1 的边按端点串成环，检查是不是恰好一个外环。洞会多出一个内环。这个检查比 Euler 计数重，但定位更直接。

在这种组合里，3F = 2E − h 的角色是「快速结构筛查」：一秒内跑完，先排除非流形和重复三角形，再把更贵的面积、边界环比对留给后面的检查。

欧拉公式不是越多越好

还有一点值得说：不要为了「看起来严谨」堆一堆恒等式。每一条恒等式都要能回答两个问题：

1. 它的两边是否独立？如果两边从同一份数据推出来，它可能只是恒真式；
2. 它失败时，能不能定位到具体位置？3F = 2E − h 失败只告诉你「结构计数不对」，不告诉你是哪条边；面积失败可以定位到缺口附近；边界环失败可以直接指出洞的位置。

这也是我在自检页里把判据分成「绝对 / 自洽 / 逻辑」三类的原因。3F = 2E − h 属于「逻辑」类：它检查的是结构关系，不是几何定义。它通过，不代表几何一定对；它失败，通常说明结构真的坏了。

一条可以直接用的检查顺序

如果让我补一条并重排，我会这样排：

1. 3F = 2E − h：抓非流形边和重复三角形，成本最低，先跑，当快速筛查；如果边表是独立维护的，也能抓边表错误；
2. 面积和 = 凸包面积：抓漏三角形、重叠、边界缺口，敏感且好定位；
3. 边界边集合 = 凸包边集合：抓洞、裂缝、边界点漏插（这是要补的判据，现有自检里还没有）。

三条都过，网格不一定完美；但任何一条失败，都说明有一个具体的问题值得去查。

一条公式的价值，不在于它写出来多漂亮，而在于它的两边是否真的在互相监督。3F = 2E − h 如果只是拿三角形列表数两遍，它监督的是自己；把 h 换成凸包给的边界，把 V 换成输入点集，它才开始监督网格。

（完）