1. 向量组的秩

先来看向量组的秩：

2. 矩阵的秩

定义：

3. 相关定理及证明

定理： 矩阵的秩=行秩=列秩。

证：

假设

假设A的行秩为r，显然有r≤m。

不妨假设向量组

线性无关，其中，

i=1,2,...,r

令

为A的行向量极大无关组组成的矩阵。

先证k维向量的极大线性无关组中向量个数小于等于k。

i=1,2,...,k

对方程

即

至少∃一组r-1个方程，对于其他的n-r+1个方程，都可以用这组方程的加或减来表示。因而有效方程数少于未知数，方程组必有非0解，即

其中，

i=1,2,...,r

则

没有非0解，即

没有非0解，那么

没有非0解，即

没有非0解，其中

也就是说，

的列秩大于等于r。

假设A的列秩大于r，则矩阵A存在r+1个列向量线性无关。不妨假设列向量组

线性无关。

则方程

没有非0解，即

没有非0解。

则行向量组

的秩大于等于r+1，其中

根据上面的证明可得，向量组

的秩大于等于向量组

的秩，大于等于r+1，与A的行秩等于r矛盾。

∴矩阵A的列=r=行秩=秩。

参考文献

1.https://baike.baidu.com/item/%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E7%A7%A9/6285316?fr=aladdin