信号与系统作业问题回复

提问

老师好！我想请问几个上周作业中的问题。

1. 作业第一题第三问中设置的中间变量为什么最后无法消除？实际表达式中可以保留中间变量吗？
   第一道题第3小问离散时间系统框图

2. 作业第5题的7,8小问中，从响应的表达式r(t)来看，t应该是变化量，而输入信号一侧e(τ)和t却是分开在积分算式的两个位置。那么这时候判断系统性质时输入信号到底是t还是e(τ)呢？

$$(7)r\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{t}e\left(\tau \right)d\tau$$
$$(8)r\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{5t}e\left(\tau \right)d\tau$$

3. 作业最后一题中，多个系统级联，那么计算时输入下一级系统中的信号应该是x[n]中的n，还是x[n]整体呢？（换句话说，就是对于输入信号，应当把x[n]整体看做一个变量，还是把n看做一个变量呢？）
   三个子系统的输入输出关系

问题有些多，麻烦老师了……
 

回复

第一个问题

对于第一道题第三小问中离散时间系统框图，带有两个综合器（加法器）。因此建立该系统输入输出差分方程的时候，需要将中间的节点设置临时变量。假设第一个综合器的输出的临时变量为w[n]，那么它后面两个延时单元之后的节点临时变量分别是w[n-1]，w[n-2]。

由此可以根据第一个加法器（综合器）建立x[n]与w[n]之间的差分方程：
$$x\left[n\right]=w\left[n\right]+w\left[n-1\right]+\frac{1}{2}w\left[n-2\right]$$

根据第二个加法器建立y[n]与w[n]之间的差分方程：
$$y\left[n\right]=2w\left[n-1\right]+5w\left[n-2\right]$$

下面将上面两个方程中的临时变量消去，获得x[n]与y[n]之间的差分方程。为了简便起见，我们使用“延时算子”来将上面两个差分方程修改成算子代数方程组：
$$x\left[n\right]=\left(1+D+\frac{1}{2}{D}^2\right)w\left[n\right]$$
$$y\left[n\right]=\left(2D+5D^2\right)w\left[n\right]$$

将上面两个算子代数方程相除，可以得到：
$$\frac{x\left[n\right]}{y\left[n\right]}=\frac{1+D+\frac{1}{2}{D}^2}{2D+5D^2}$$
因此：
$$\left(2D+5D^2\right)x\left[n\right]=\left(1+D+\frac{1}{2}{D}^2\right)y\left[n\right]$$
由此可得：

$$y\left[n\right]+y\left[n-1\right]+\frac{1}{2}y\left[n-2\right]=2x\left[n-1\right]+5x\left[n-2\right]$$

通过设置中间临时变量，是可以将中间变量消去。在最后的答案中，应该只包含有系统的输入x[n]和输出y[n]信号以及它们的各阶延迟信号，构成后向差分方程。

第二个提问：

在第五题的(7),(8)小题中描述系统输入输出关系的表达式中，$e(t)$ 是系统输入信号。$r(t)$ 是系统输出信号。表达式表示系统的输出是对输入信号e(t)的积分。
$$(7)r\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{t}e\left(\tau \right)d\tau$$
$$(8)r\left(t\right)={\int }_{-\infty }^{5t}e\left(\tau \right)d\tau$$
在积分表达式中，变量$\tau$是积分变量，变量 $t$ 是积分的上限，也就是积分运算的参数。最终积分结果是参数 $t$ 的函数。这就是系统的输出。

在你的提问中，似乎将信号 $e(t)$ 的描述与信号的自变量 $t$ 混淆了。在积分始终，将 $e(t)$ 写成 $e\left(\tau \right)$，是因为积分变量是 $\tau$。

补充一下，对于第8小题，可以看出系统是由两个子系统串联而成，第一个子系统就是积分系统，也就是第7小题描述的系统，然后紧跟着一个尺度变化系统：将输入信号压缩5倍。

第三个提问

我仔细揣摩你提问时心里的 疑问，对于子系统串联时，输入信号是$x[n]$ 的整体，还是具体到一个个单独的 n 所对应的 一个数值 x[n]。

我认为这两个中想法应该都对。
如果将x[n]当做整体通过三个子系统，那就是将整个系统对输入信号的处理分成了三步：
第一步，将x[n]送入第一个子系统，按照题目中给定的描述，是将输入信号通过补零扩充两倍；
第二步将处理扩充完毕的结果在送入第二个子系统，按照题目中对第二个子系统的描述，就是对第一个子系统的输出以及它的两个延迟信号进行加权累加；
第三步将子系统2 的输出在送入第三个子系统，即在重新抽点压缩。
最后子系统3所得到的输出应该是：

这是整个系统的输出与输入x[n]之间的关系。它们应该是一个线性时不变的关系。

但是在实际系统运行过程中，信号是逐步通过三个子系统。这三个子系统是离散时间系统，它们同步进行协同工作。由于其中存在着对信号的扩充和压缩，因此，它们工作的时钟频率会有差别。

第一个子系统的工作频率和第二个子系统是相同的，由于第一个子系统是数据补零扩充，所以它们的输出数据速率都是输入数据x[n]速率的两倍。

第三个子系统由于是压缩，所以它的输出数据的速率是前面两个子系统速率的一半，也就是与输入信号的速率相同。

最终系统的输入输出关于与前面整体分析的结果是一样的。

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