本文是 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案 的参考答案。

▌第四题

4 .试写出下图所示的系统输入、输出关系。

求解：

（1）第一小题

在原来系统框图的基础上，增加节点变量$y^{\prime }\left(t\right),y^{\prime \prime }\left(t\right)$。

然后在根据综合器列写出方程：

$$y^{\prime \prime }\left(t\right)=-4y^{\prime }\left(t\right)-y\left(t\right)+x\left(t\right)$$

化简成标准的描述连续时间系统的微分方程的形式：
$$y^{\prime \prime }\left(t\right)+4y^{\prime }\left(t\right)+y\left(t\right)=x\left(t\right)$$

（2）第二小题

在系统框图上增加对应节点的变量。

根据综合器列写出差分方程：

$$\frac{1}{3}y\left[n+1\right]=-\frac{2}{3}y\left[n\right]+x\left[n\right]$$

然后整理成标准的后向差分方程形式：

$$\frac{1}{3}y\left[n\right]+\frac{2}{3}y\left[n-1\right]=x\left[n-1\right]$$

（3）第三小题

在系统两个综合器之间的节点设置临时变量$m\left[n\right],m\left[n-1\right],m\left[n-2\right]$。

然后根据两个综合器分别列写出两个差分方程：

$$m\left[n\right]+m\left[n-1\right]+2m\left[n-2\right]=x\left[n\right]$$

$$y\left[n\right]=2m\left[n-1\right]+5m\left[n-2\right]$$

使用算子方法来消除中间变量$m\left[n\right]$。

第一个差分方程可以表示成：
$$x\left[n\right]=\left(1+D+D^2\right)m\left[n\right]$$
第二个差分方程可以表示成：
$$y\left[n\right]=\left(2D+5D^2\right)\cdot m\left[n\right]$$

上面两个算子方程相除：
$$\frac{x\left[n\right]}{y\left[n\right]}=\frac{1+D+D^2}{2D+5D^2}$$

所以，
$\left(2D+5D^2\right)x\left[n\right]=\left(1+D+D^2\right)y\left[n\right]$

则系统的差分方程为：

$$y\left[n\right]+y\left[n-1\right]+y\left[n-2\right]=2x\left[n-1\right]+5x\left[n-2\right]$$

※ 附录

■ 相关文献链接:

• 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第一小题
• 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第二小题
• 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第三小题
• 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第四小题
• 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第五小题
• 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第六小题
• 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第七小题
• 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第八小题
• 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第九小题
• 2021年春季学期-信号与系统-第二次作业参考答案-第十小题

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