本文是 2021年春季学期-信号与系统-第七次作业参考答案 的小题的参考答案。

▌第二小题 ▌

2.求下面信号的频谱。

▓ 求解：

$f\left(t\right)$可以看成三角信号$f_t\left(t\right)$与方波信号$f_p\left(t\right)$的相乘。根据傅里叶变换时域乘积（频域卷积）定理，$f\left(t\right)$的频谱$F\left(\omega \right)$为：$$F\left(\omega \right)=\frac{1}{2\pi }{F}_T\left(\omega \right)\ast F_P\left(\omega \right)$$

三角信号$f_t\left(t\right)$的傅里叶变换$F_T\left(\omega \right)$为：

$$F_T\left(\omega \right)={\tau }_{1}S{a}^2\left(\frac{\omega {\tau }_1}{2}\right)$$

等腰三角脉冲信号与等宽的矩形脉冲信号的频谱相差“三个2”。

下面求周期方波信号$f_p\left(t\right)$的傅里叶变换。

对于宽度为$\tau$，高度为2的矩形脉冲信号$f_{2\tau }\left(t\right)$的连续频谱$F_{2\tau }\left(\omega \right)$为：$$F_{2\tau }\left(\omega \right)=2\tau Sa\left(\omega \tau \right)$$

将$f_{2\tau }\left(t\right)$安装周期$2\tau$进行周期延拓，形成周期信号$f_{2\tau p}\left(t\right)$，它对应的傅里叶变换$F_{2\tau P}\left(\omega \right)$是$F_{2\tau }\left(\omega \right)$进行离散化。

$$F_{2\tau P}\left(\omega \right)=\frac{\pi }{\tau }\sum _{n=-\infty }^{\infty }2\tau Sa\left(n\cdot \frac{\pi }{\tau }\right)\delta \left(\omega -n\cdot \frac{\pi }{\tau }\right)$$

进行化简后为：

$$F_{2\tau P}\left(\omega \right)=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }Sa\left(n\cdot \frac{\pi }{\tau }\right)\delta \left(\omega -n\cdot \frac{\pi }{\tau }\right)$$

周期信号$f_p\left(t\right)$是$f_{2\tau p}\left(t\right)$减去常量$1$，那么它对应的傅里叶变换$F_P\left(\omega \right)$为：
$$F_P\left(\omega \right)=F_{2\tau P}\left(\omega \right)-2\pi \delta \left(\omega \right)$$

根据上面$F_{2\tau P}\left(\omega \right)$，所以：$$F_P\left(\omega \right)=2\pi \sum _{n=-\infty ,n\ne 0}^{+\infty }Sa\left(n\cdot \frac{\pi }{\tau }\right)\delta \left(\omega -n\frac{\pi }{\tau }\right)$$

最终，$F\left(\omega \right)$为：

$$F\left(\omega \right)=\frac{1}{2\pi }{F}_T\left(\omega \right)\ast F_P\left(\omega \right)$$$$=\frac{1}{2\pi }\cdot {\tau }_{1}S{a}^2\left(\frac{\omega {\tau }_1}{2}\right)\ast 2\pi \sum _{n=-\infty ,n\ne 0}^{+\infty }Sa\left(\frac{n\pi }{\tau }\right)\delta \left(\omega -\frac{n\pi }{\tau }\right)$$$$=\tau \sum _{n=-\infty ,n\ne 0}^{+\infty }Sa\left(\frac{n\pi }{\tau }\right)\cdot S{a}^2\left[\frac{{\tau }_1}{2}\left(\omega -\frac{n\pi }{\tau }\right)\right]$$

【其它各小题参考答案】

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