➤01 向量范数（Norm）

1.定义

对于向量$\bar{x}$的范数$L_p$定义如下：

$${\Vert \bar{x}\Vert }_p={\left(\sum _i{\left|x_i\right|}^p\right)}^{\frac{1}{p}}$$

通常情况下，对于给定的$\bar{x}$，$L_p$的数值与$p$有关系。当如果$x$是标量，那么${\Vert x\Vert }_p$与$p$五个。

对于$p$的几个特殊的取值，${\Vert \bar{x}\Vert }_p$取值如下：

(1) p = 1:
$${\Vert \bar{x}\Vert }_1=\sum _i\left|x_i\right|$$
(2) p = 2 :$${\Vert \bar{x}\Vert }_2=\sqrt{\sum _i{x}_i^2}$$
(3) p = ∞
$${\Vert \bar{x}\Vert }_{\infty }=\underset{i}{\max }\left|x_i\right|$$

2.举例

令$\bar{x}=\left(1,2,3\right)$，那么下面绘制${\Vert \bar{x}\Vert }_p$的取值随着p值的变化曲线：

def normp(x,p):
    sumup = sum(list(map(lambda r:pow(r,p), x)))
    return pow(sumup, 1/p)

  

 

  
1
  
2
  
3
 

计算三种不同的范数：1, 2, 无穷大。
$${\Vert \left(1,2,3\right)\Vert }_1=6,{\Vert \left(1,2,3\right)\Vert }_2=3.74165,{\Vert \left(1,2,3\right)\Vert }_{\infty }=3$$

• P的取值1 ~ 10:
  

  ^{▲ 不同p下的Norm(x)p的取值}

• p取值： 0.1 ~ 1：
  

  ^{▲ 不同p下的Norm(x)p的取值}

3.随机向量

向量$\bar{x}$去维度为100的随机向量。

[0.24391919 0.49622443 0.47875403 0.09911819 0.55347071 0.62541928
0.09802366 0.06835364 0.91876807 0.15899439 0.36288558 0.33701167
0.54999295 0.0884227 0.44314682 0.06830299 0.77773741 0.77438765
0.20816862 0.92733654 0.95196255 0.67490874 0.02014755 0.30706064
0.5241224 0.55222905 0.10500043 0.29495123 0.36738073 0.54551681
0.30690897 0.60352366 0.65770245 0.41998395 0.37576451 0.15260377
0.73901666 0.1658365 0.71668991 0.24563881 0.05607063 0.31411558
0.07276439 0.01767733 0.58261071 0.47360638 0.79779543 0.60401737
0.13094089 0.96497742 0.31550006 0.80261193 0.75992481 0.32960755
0.09673154 0.69607499 0.82705553 0.85927744 0.365921 0.80895228
0.41148695 0.54490593 0.79370549 0.31457977 0.03542475 0.74360923
0.59775384 0.64370262 0.42894051 0.18293789 0.71454713 0.53763004
0.80207508 0.70567435 0.6587668 0.24039822 0.85006424 0.48574726
0.15490323 0.37997356 0.9104184 0.09877531 0.14219021 0.76059397
0.10229202 0.26434798 0.57522697 0.62408809 0.67169252 0.13293343
0.95223045 0.39905133 0.69676899 0.19756753 0.46648849 0.5882844
0.01855678 0.56824342 0.53406079 0.17367655]

计算结果：

|x|₁=45.98593560996123
|x|₂=5.337567743508142
|x|₁₀₀=0.9692209010245963

➤02 矩阵的范数

可以使用$L_p$范数来衡量矩阵$A$的Frobenius的范数：
$${\Vert A\Vert }_F={\left(\sum _{i,j}{\left|A_{ij}\right|}^2\right)}^{\frac{1}{2}}$$

x = random.rand(10,10)

[[5.77241118e-01 4.47299620e-01 9.34225154e-01 1.37258546e-01 3.37849651e-01 4.47679381e-01 8.59109821e-01 2.11646551e-01 2.45356994e-01 8.57916498e-01]
[1.00530952e-01 4.36903342e-01 9.18364036e-01 1.82207010e-01 5.76999771e-01 6.19150194e-01 7.39193214e-02 1.97617365e-01 6.82669986e-01 8.51328166e-01]
[4.83637083e-01 7.95432871e-01 6.93688731e-02 4.85649135e-01 7.41136158e-01 8.47261623e-01 7.17975880e-01 5.81934362e-01 5.96811915e-01 3.57037450e-01]
[1.31650902e-01 8.39763071e-01 2.63461873e-01 2.88515824e-01 9.52160127e-01 2.92993997e-01 5.60513678e-01 4.03694431e-01 8.59689217e-01 9.34598738e-01]
[2.80716836e-01 1.94946229e-01 1.06277652e-01 7.94070539e-01 1.34892914e-01 8.81801705e-01 3.07759782e-01 1.25711105e-01 1.00572082e-01 7.23696797e-01]
[3.86884885e-01 8.73714370e-01 8.38268405e-01 2.67326998e-01 3.64319371e-01 9.42436607e-01 2.97936522e-01 7.82813446e-01 5.88709624e-01 4.61394418e-01]
[1.26953155e-01 5.02286444e-01 1.21772318e-01 5.33498663e-01 2.78981602e-01 2.26861308e-01 9.35817193e-01 7.54270179e-01 7.74004901e-01 3.14405051e-01]
[8.51522674e-01 9.10788029e-02 3.05078260e-02 1.82766662e-01 1.74375026e-01 6.71277145e-01 9.68754183e-01 9.38809087e-01 2.34603156e-01 2.77403139e-01]
[8.16678016e-05 4.10596294e-01 3.83992576e-01 7.24796836e-01 4.01949558e-02 4.84989102e-01 3.94557881e-01 9.38897942e-01 7.21536817e-01 2.83264496e-01]
[5.02283358e-01 1.67694058e-01 1.27423082e-01 5.51798902e-02 4.71489390e-01 5.56747951e-02 7.79663082e-01 1.02021506e-01 8.57441393e-01 1.07593011e-01]]

仍然使用前面定义的normp()对它进行求取范数。

#!/usr/local/bin/python
# -*- coding: gbk -*-
#============================================================
# TEST1.PY                     -- by Dr. ZhuoQing 2020-11-16
#
# Note:
#============================================================

from headm import *

def normp(x,p):
    sumup = sum(list(map(lambda r:pow(r,p), x)))
    return pow(sumup, 1/p)

x = random.rand(10,10)
printf(x)
x2 = normp(x, 2)
x1 = normp(x, 1)
x00 = normp(x, 100)

printff(x1, x2, x00)

pdim = linspace(1, 10, 1000)

xdim = []
for p in pdim:
    xdim.append(normp(x, p))

plt.plot(pdim, xdim)
plt.xlabel("p")
plt.ylabel("norm-p")
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

#------------------------------------------------------------
#        END OF FILE : TEST1.PY
#============================================================

  

 

  
1
  
2
  
3
  
4
  
5
  
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10
  
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➤※ 结论

使用$L_p$范数可以对于向量、矩阵定义出对应的范数。使用这些范数可以来度量向量、矩阵的模。

文章来源: zhuoqing.blog.csdn.net，作者：卓晴，版权归原作者所有，如需转载，请联系作者。

原文链接：zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/109729874