数据驱动过程监控或统计过程监控（SPM）将多元统计和机器学习方法应用于工业过程操作和生产结果的故障检测和诊断，复杂工业过程监控及诊断主要有一下几个步骤：（i）故障检测；(ii）故障识别或诊断；(iii）无故障估计值和无故障估计值；和（iv）产品质量监控。数据驱动过程监控中的许多基础和高级问题，包括故障检测、识别、重构和诊断。

故障重构有可以理解为故障识别的一部分，今天介绍一下故障重构。

异常过程操作条件的特点是意外的变化，这些变化偏离了根据正常数据建立的模型。PCS中捕获的数据相关性决定了变量之间的通常关系。因此，当这些关系被破坏或超出其正常变化范围时，会检测到异常操作条件。

检测到故障后，需要诊断和识别故障源，并采取必要措施纠正异常情况。通过在错误数据中应用校正来估计正常值的过程称为重构；对于给定类型的故障，通过重构识别故障的过程称为通过重构识别。通过沿故障方向估计故障大小，可以从故障测量中重建无故障数据。因此，接下来讨论故障重构，然后通过重构进行故障识别。

基于SPE的故障重构

故障重构的任务是通过消除故障${\mathbf{F}}_i$的影响来估计正常值$x^{\ast }$。通过校正故障对过程数据$x$的影响，计算重构样本向量$x_i$，
$${\mathbf{x}}_i=\mathbf{x}-{\mathbf{\Xi }}_i{\mathbf{f}}_i$$
式中，$f_i$是实际故障幅度的估计值，f。
重建的一个合理目标$f_i$是找到重建的SPE,
$$\mathrm{SPE}\left({\mathbf{x}}_i\right)={\Vert {\tilde{\mathbf{x}}}_i\Vert }^2={\Vert \tilde{\mathbf{x}}-{\tilde{\Xi }}_i{\mathbf{f}}_i\Vert }^2$$
最小化，其中${\tilde{\mathbf{\Xi }}}_i=\left(\mathbf{I}-\mathbf{P}{\mathbf{P}}^T\right){\mathbf{\Xi }}_i$。该目标旨在保持PCA模型中建立的相关性。该问题的最小二乘法解决方案可得出断层震级的最佳估计值.
$${\mathbf{f}}_i={\tilde{\Xi }}_i^{+}\tilde{\mathbf{x}}={\tilde{\mathbf{\Xi }}}_i^{+}\mathbf{x}$$
重构的测量向量为
$${\mathbf{x}}_i=\mathbf{x}-{\Xi }_i{\tilde{\Xi }}_i^{+}\mathbf{x}=\left(\mathbf{I}-{\Xi }_i{\tilde{\Xi }}_i^{+}\right)\mathbf{x}$$
在剩余空间中
$${\tilde{\mathbf{x}}}_i=\left(\mathbf{I}-{\tilde{\Xi }}_i{\tilde{\Xi }}_i^{+}\right)\tilde{\mathbf{x}}$$
使用故障模型，可以直接写做，
$${\tilde{\mathbf{x}}}_i={\tilde{\mathbf{x}}}^{\ast }$$
重建的SPE变成：
$$\mathrm{SPE}\left({\mathbf{x}}_i\right)={\Vert {\tilde{\mathbf{x}}}_i\Vert }^2={\Vert {\tilde{\mathbf{x}}}^{\ast }\Vert }^2$$
具有重建后故障消除的效果。这些关系可用于进一步的故障识别和分析。

基于组合指标的故障重构

如果重建目标应使SPE和T2最小化，则重建向量的组合指标应最小化，且目标函数定义为，
$$\phi \left({\mathbf{x}}_i\right)=\frac{\mathrm{SPE}\left({\mathbf{x}}_i\right)}{{\delta }^2}+\frac{T^2\left({\mathbf{x}}_i\right)}{{\chi }_l^2}={\mathbf{x}}_i^T\mathbf{\Phi }{\mathbf{x}}_i$$
通过最小化上述组合指标，得到最优重构
$${\mathbf{f}}_i={\left({\mathbf{\Xi }}_i^T\mathbf{\Phi }{\Xi }_i\right)}^{-1}{\mathbf{\Xi }}_i^T\mathbf{\Phi }\mathbf{x}$$
重建的$x_i$和$\varphi (x_i)$可通过以下公式计算：
$${\mathbf{x}}_i=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{\Xi }}_i{\left({\mathbf{\Xi }}_i^T\mathbf{\Phi }{\mathbf{\Xi }}_i\right)}^{-1}{\mathbf{\Xi }}_i^T\mathbf{\Phi }\right)\mathbf{x}$$
使用故障模型，可以直接得到，
$${\mathbf{x}}_i=\left(\mathbf{I}-{\mathbf{\Xi }}_i{\left({\mathbf{\Xi }}_i^T\mathbf{\Phi }{\mathbf{\Xi }}_i\right)}^{-1}{\mathbf{\Xi }}_i^T\mathbf{\Phi }\right){\mathbf{x}}^{\ast }$$
在重建后，断层的影响被消除。基于$\varphi$的重建意味着故障在PCS和RS中都得到了纠正。这种情况的一个特例是以Hotelling的T2为目标进行重建。然而，这不是一个明智的选择，因为它不强制重构向量以保持模型中的相关性。

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