平方预测误差(Squared prediction error，SPE)和霍特林统计量（Hotelling’s T2）原理

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故障检测是多变量过程监控的第一步。

通常，SPE（或Q-统计量）和霍特林的T2指数分别用于监测RS和PCS的正常变异性。

应注意的是，PCA或PLS建模不要求数据为高斯分布。高斯假设仅用于推导故障检测指数的适当控制限值。此外，在推导控制限值时，不需要样本的时间独立性，因为仅指定I类错误来控制假警报率。当涉及II类错误时，监测测量的时间独立性是必要的，即未检测到的故障率。

当测量值假设为高斯分布时，通常适合使用马氏距离来定义故障检测的正常区域，例如，在主分量子空间中。然而，由于过程数据通常高度相关，这使得剩余分量的方差接近于零，因此在RS中使用马氏距离将是病态的。因此，Q统计量或SPE使用欧几里德距离来定义故障检测的正常区域。由于这两个指标的互补性，还提出了用于故障检测和诊断的组合指标。

以下，我总结了这些故障检测指标。

平方预测误差(Squared prediction error，SPE)

SPE指数测量样本向量在剩余子空间上的投影，

$$\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{E}\equiv \Vert \tilde{\mathbf{x}}{\Vert }^2={\Vert \left(\mathbf{I}-\mathbf{P}{\mathbf{P}}^T\right)\mathbf{x}\Vert }^2\text{\hspace{1em}(1)}$$

如果出现以下情况，则该过程视为正常

$$\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{E}⩽{\delta }^2\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 ${\delta }^2$ 表示SPE的控制限值。Jackson和Mudholkar（1979）提出了控制极限 ${\delta }^2$ 的表达式，该表达式近似于三阶矩的SPE分布。

当故障发生时，故障样本向量 $\mathbf{x}$ 由与故障部分叠加的正常部分组成。故障会使SPE大于 ${\delta }^2$ ，从而导致检测到故障。

霍特林统计量（Hotelling’s T2）

Hotelling的$T^2$测量了在主分量（PCS）中的变化，

$$T^2={\mathbf{x}}^T\mathbf{P}{\mathbf{\Lambda }}^{-1}{\mathbf{P}}^T\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(3)}$$

在正态数据服从多元正态分布的情况下，$T^2$统计量与$F$分布有关

$$\frac{N-l}{l(N-1)}{T}^2\sim F_{l,N-l}\text{\hspace{1em}(4)}$$

如果数据点的数目N较大，则$T^2$指数可以很好地近似于具有$l$个自由度的${\chi }^2$卡方分布，即，

$$T^2⩽{\chi }_l^2\text{\hspace{1em}(5)}$$

在正常情况下。在过程监控中，通常情况下，N非常大。因此，${\chi }^2$控制限值是足够的，并且经常在过程监控文献中使用。

当来自过程数据的分数不符合多元正态性假设时，$T^2$的限值在实践中是不可靠的。相比之下，残差的表现要好得多。

综合指标（Combined Indices）

在实践中，有时最好使用一个指标而不是两个指标来监控流程。

有的论文中建议采用组合统计，但不给出控制限。

也有论文，如在Yue和Qin（1998）、Yue和Qin（2001）中，提出了一种用于故障检测的组合指标，它将SPE和$T^2$结合在一起，如下所示：

$$\mathbf{\phi }=\frac{\mathrm{SPE}(\mathbf{x})}{{\delta }^2}+\frac{T^2(\mathbf{x})}{{\chi }_l^2}={\mathbf{x}}^T\mathbf{\Phi }\mathbf{x}\text{\hspace{1em}(6)}$$

其中，

$$\mathbf{\Phi }=\frac{\mathbf{P}{\mathbf{\Lambda }}^{-1}{\mathbf{P}}^T}{{\chi }_l^2}+\frac{\mathbf{I}-\mathbf{P}{\mathbf{P}}^T}{{\delta }^2}\text{\hspace{1em}(7)}$$

注意，$\mathbf{\Phi }$ 是对称的和正定矩阵。

前辈大佬得出的控制极限，该结果提供了一个近似分布，其前两个矩与精确分布相同。作为二次指数，$\mathbf{\Phi }$ 近似如下：

$$\phi ={\mathbf{x}}^T\mathbf{\Phi }\mathbf{x}\sim g{\chi }_h^2\text{\hspace{1em}(8)}$$

其中系数

$$g=\frac{\mathrm{tr}(\mathbf{S}\Phi {)}^2}{\mathrm{tr}(\mathbf{S}\Phi )}\text{\hspace{1em}(9)}$$

以及${\chi }^2$分布的自由度
$$h=\frac{[\mathrm{tr}(\mathbf{S}\Phi ){]}^2}{\mathrm{tr}(\mathbf{S}\Phi {)}^2}\text{\hspace{1em}(10)}$$
在计算$g$和$h$之后，可以得到给定置信水平下的控制极限 $\phi$ 。

SPE和$T^2$共同定义的控制区域与组合指数的控制区域非常相似。然而，综合指标定义了一个更符合数据多正态性假设的椭圆区域。是单独使用组合指标，还是联合使用SPE和$T^2$，取决于应用情况。

• 具体实现代码可见 $⟶$ Python代码实现-主成分分析（PCA）降维及故障诊断中的T2和SPE统计量Matplotlib出图

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