已知映射函数Φ，可以通过Φ(x)和Φ(z)的内积求得核函数K(x,z)。不用构造映射Φ(x)能否直接判断一个给定的函数k(x,z)是不是核函数？或者说，函数k(x,z)满足什么条件才能成为核函数？

本节叙述正定核的充要条件。通常所说的核函数就是正定核函数。为证明此定理先介绍有关的预备知识。

先定义映射

（内积空间的定义可参见学习笔记|希尔伯特空间）

定义运算*

（3）f*g=g*f

证明：

（1）

（2）

（3）

（4）

因为Gram矩阵半正定，所以右端非负，即f*f≥0。

f=0⇒f*f=0是显然的。

现证f*f=0⇒f=0。

其左端是λ的二次三项式，非负，其判别式小于等于0，即

因此

于是

证毕

则

及

称为再生核。

4. 正定核的充要条件

是半正定矩阵。

则

K(⋅,x)⋅f=f(x)

K(⋅,x)⋅K(⋅,z)=K(x,z)

⇒K(x,z)=Φ(x)⋅Φ(z)

定理给出了正定核的充要条件，因此可以作为正定核，即核函数的另一定义。

是半正定矩阵，则称K(x,z)是正定核。

参考文献

1.统计学习方法（第2版），李航著，清华大学出版社