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贝塞尔曲线是自然几何形状的数学近似。我们使用它们来表示一条曲线，该曲线具有尽可能少的信息并具有很高的灵活性。

与更抽象的数学概念不同，贝塞尔曲线是为工业设计而创建的。它们是图形软件行业中流行的工具。

它们依赖于插值（我在上一篇文章中提过），结合了多个步骤以创建平滑曲线。为了更好地了解贝塞尔曲线的工作原理，让我们从其最简单的形式开始：二次贝塞尔曲线。

二次贝塞尔曲线

取三点，这是二次贝塞尔曲线起作用的最低要求：

为了在它们之间绘制一条曲线，我们首先使用0到1范围内的值，在由三个点组成的两个线段的每个顶点的两个顶点上逐步进行插值。这使我们在改变线段值时沿着线段移动两个点的t从0到1。

func _quadratic_bezier(p0: Vector2, p1: Vector2, p2: Vector2, t: float):
    var q0 = p0.linear_interpolate(p1, t)
    var q1 = p1.linear_interpolate(p2, t)

然后q0，我们进行插值并q1获得r沿曲线移动的单个点。

var r = q0.linear_interpolate(q1, t)
return r

这种类型的曲线称为二次贝塞尔曲线。

（图片来源：维基百科）

三次贝塞尔曲线

在前面的示例的基础上，我们可以通过在四个点之间进行插值来获得更多控制。

我们首先使用的功能与四个参数取四点作为输入， p0，p1，p2和p3：

func _cubic_bezier(p0: Vector2, p1: Vector2, p2: Vector2, p3: Vector2, t: float):

我们对每个点应用线性插值以将其减少到三个：

var q0 = p0.linear_interpolate(p1, t)
var q1 = p1.linear_interpolate(p2, t)
var q2 = p2.linear_interpolate(p3, t)

然后，我们将三点简化为两点：

var r0 = q0.linear_interpolate(q1, t)
var r1 = q1.linear_interpolate(q2, t)

并给一个：

var s = r0.linear_interpolate(r1, t)
return s

这是全部功能：

func _cubic_bezier(p0: Vector2, p1: Vector2, p2: Vector2, p3: Vector2, t: float):
    var q0 = p0.linear_interpolate(p1, t)
    var q1 = p1.linear_interpolate(p2, t)
    var q2 = p2.linear_interpolate(p3, t)

    var r0 = q0.linear_interpolate(q1, t)
    var r1 = q1.linear_interpolate(q2, t)

    var s = r0.linear_interpolate(r1, t)
    return s

结果将是在所有四个点之间插值的平滑曲线：

（图片来源：维基百科）

==注意==

三次贝塞尔曲线插值在3D中的效果相同，只是使用Vector3 代替Vector2。

添加控制点

以立方贝塞尔曲线为基础，我们可以更改两个点的工作方式以自由控制曲线的形状。而是具有p0，p1，p2 和p3，我们将它们存储为：

• point0 = p0：是第一点，来源
• control0 = p1 - p0：相对于第一个控制点的向量
• control1 = p3 - p2：是相对于第二个控制点的向量
• point1 = p3：是第二点，目的地

这样，我们有两个点和两个控制点，它们是相对于各个点的相对向量。如果您以前使用过图形或动画软件，则可能看起来很熟悉：

这就是图形软件如何向用户显示Bezier曲线，以及它们在Godot中的工作方式和外观。

Curve2D，Curve3D，路径和Path2D

有两个包含曲线的对象：Curve3D和Curve2D（分别用于3D和2D）。

它们可以包含多个点，从而可以使用更长的路径。也可以将它们设置为节点：Path和Path2D（也分别用于3D和2D）：

但是，使用它们可能并不十分明显，因此以下是Bezier曲线最常见用例的描述。

评估

仅评估它们可能是一种选择，但是在大多数情况下，它不是很有用。 贝塞尔曲线的最大缺点是，如果以恒定速度从t = 0到t = 1遍历它们，则实际插补将不会以恒定速度移动。 速度也是点p0，p1，p2和p3之间距离的插值，并且没有数学上简单的方法来以恒定速度遍历曲线。

让我们用下面的伪代码做一个简单的例子：

var t = 0.0

func _process(delta):
    t += delta
    position = _cubic_bezier(p0, p1, p2, p3, t)

如您所见，即使t以恒定速度增加，圆的速度（以每秒像素为单位）也会变化。这使得贝塞尔曲线难以在开箱即用的情况下使用。

画画

绘制贝塞尔曲线（或基于曲线的对象）是一种非常常见的用例，但这也不容易。在几乎任何情况下，贝塞尔曲线都需要转换为某种线段。但是，这通常很困难，而又不创建大量的代码。

原因是曲线的某些部分（特别是拐角）可能需要大量的点，而其他部分可能不需要：

此外，如果两个控制点都是0, 0（请记住它们是相对矢量），则贝塞尔曲线将只是一条直线（因此绘制大量的点将是浪费的）。

在绘制贝塞尔曲线之前，需要进行细分。这通常通过递归或分而治之的功能来完成，该功能可以分割曲线，直到曲率量小于某个阈值为止。

的曲线类通过提供这种 Curve2D.tessellate()函数（其接收可选stages的递归和角度tolerance参数）。这样，基于曲线绘制对象就更容易了。

遍历

曲线的最后一个常见用例是遍历它们。由于前面提到的有关恒速的内容，这也很困难。

为了使此操作更容易，需要将曲线烘焙到等距的点。这样，它们可以通过常规插值进行近似（可以通过三次选项进一步改进）。为此，只需将Curve.interpolate_baked()方法与Curve2D.get_baked_length()一起使用 。第一次调用它们中的任何一个都会在内部烘焙曲线。

然后，可以使用以下伪代码完成恒速遍历：

var t = 0.0

func _process(delta):
    t += delta
    position = curve.interpolate_baked(t * curve.get_baked_length(), true)

然后，输出将以恒定速度移动：