考虑一个二类分类问题。假设输入空间与特征空间为两个不同的空间。输入空间为欧氏空间或离散集合，特征空间为欧氏空间或希尔伯特空间。线性可分支持向量机、线性支持向量机假设这两个空间的元素一一对应，并将输入空间中的输入映射为特征空间中的特征向量。非线性支持向量机利用一个从输入空间到特征空间的非线性映射将输入映射为特征向量。所以，输入都由输入空间转换到特征空间，支持向量机的学习是在特征空间进行的。

假设给定一个特征空间上的训练数据集

学习的目标是在特征空间中找到一个分离超平面，能将实例分到不同的类。分离超平面对应于方程ω⋅x+b=0，它由法向量ω和截距b决定，可用(ω,b)来表示。分离超平面将特征空间划分为两部分，一部分是正类，一部分是负类。法向量指向的一侧为正类，另一侧为负类。

一般地，当训练数据集线性可分时，存在无穷个分离超平面可将两类数据正确分开。感知机利用误分类最小的策略，求得分离超平面，不过这时的解有无穷多个。线性可分支持向量机利用间隔最大化求最优分离超平面，这时，解是唯一的。

线性可分支持向量机定义： 给定线性可分训练数据集，通过间隔最大化或等价地求解相应的凸二次规划问题学习得到的分离超平面为

以及相应的分类决策函数

称为线性可分支持向量机。

考虑如下图所示的二维特征空间中的分类问题。图中“o”表示正例，“”表示负例。训练数据集线性可分，这时有许多直线能将两类数据正确划分。线性可分支持向量机对应着将两类数据正确划分并且间隔最大的直线如图所示。

参考文献

【1】统计学习方法（第2版），李航著，清华大学出版社