为什么24阶魔尺照着感觉就能扭出正方体

24阶魔尺有一个十分经典的造型，俗称正方体

既然是正方体，那我就把这个造型成为24阶魔尺的标准型好了。

曾经和我的老婆聊过，发现一个我们都认同的规律：

24阶魔尺的结构并不唯一，把直线变成标准型也没有什么固定的方法，

随便从哪个地方开始，随便往哪个方向扭，不需要注意什么，只要凭着感觉扭，就一定能扭成标准型。

而且，在扭的过程中，从不需要对已经扭好的那一部分再进行修改。

对比魔方的层先法解法，第一步是复原第一层，但是在复原后面的时候，会经常把第一层拆散，只不过可以利用公式，在一定的步数内，达到我们的目的，而且公式结束之后已经拼好的部分不受影响，但是在公式运行时却是被拆散了的。

而魔尺却不一样，实际上，我用魔尺拼过上百种造型，90%以上的造型都满足“在扭的过程中，从不需要对已经扭好的那一部分再进行修改。”

正是因为有这样的一个规律存在，魔尺的难度和魔方的难度不知道隔了多少数量级。

下面是本文讨论的关键：为什么“只要凭着感觉扭，就一定能扭成标准型。”

首先第一步，自然是用较准确的语言来描述这个规律。

这个感觉指的是，魔尺的每一步状态转移是独立的，而且存在一个函数，能够不依靠魔尺的状态对状态转移分成2类。因为这个函数足够简单，所以我们认为这个感觉是非常自然的。

这个函数是什么呢？

我们在拼标准型的时候其实已经把正方体的位置确定了（不一定在第一步就确定了，但是肯定在某个合适的时间确定了），这个函数就是，一个状态转移，是否能让新得到的状态满足，已经拼好的部分中，相邻的2块之间的相对角度偏差为90度。

用一个简单的模型作为demo

这个规律就是：

每一条线是蓝色的还是红色的，这是非常好判断的。

我们不需要了解这个图，但是我们知道红线不能走。

蓝线有很多条，我们每次都凭着感觉随便选一条，

无论如何选择，最后总能到达E。

接下来是第二步，对标准型进行建模。

实际上，比起正方形，标准型更接近正八面体。

正八面体有12条边，在平面上画出它的拓扑结构

不难发现，扭出一个标准型其实就是一笔画出一个正八面体的平面投影12边图

最后是第三步，用正八面体的平面投影来解释魔尺标准型的规律。

接下来的工作其实就是证明这个结论：

对于上图，无论从哪个点开始，每次只要在还没走过的所有路中任选一条，最后一定能完成上图的一笔画。

可惜，这个结论并不正确。

例如走过ADFAEDCFBA之后，就已经无法完成一笔画了。

所以，我们需要对这个结论进行修正，不仅如此，我们还要先修改前面描述的“感觉”：

实际上扭魔尺的时候，我们总是选择较空旷的方向。

这样，规律就变得复杂一些了，先做点准备工作。

1，一笔画可行图：可以一笔画的图。

2，无奇点可行图：一笔画可行图有两种，一种是没有奇点的，一种是有2个奇点的，我们把前者叫做无奇点可行图。

3，当前点：在一笔画的过程中，画了一部分，最后访问的那个点，叫做当前点。

（开始的时候当前点是起点，结束的时候当前点是终点）

4，当前奇点：把已经走过的边去掉，得到的子图的所有奇点称为当前奇点。

5，定理一：对于一个无奇点可行图，如果当前点是起点（不一定是刚开始的时候，可能已经走过一个环了），那么不存在当前奇点。如果当前点不是起点，那么起点和当前点一定是当前奇点，其他所有的点一定不是当前奇点

证明略（和欧拉的七桥问题的本质是一样的）

6，可达：在一笔画的过程中，画了一部分，把已经走过的边去掉，对于得到的子图来说，如果存在从当前点到一个点的路径，那么称这个点可达，否则，称为不可达。

7，定理二：不存在恰有1个奇点的图。（太显然，证明略）

8，定理三：对于一个无奇点可行图，如果存在不可达点，那么不可达点一定不是当前奇点。

定理三的证明：

对于子图，如果存在不可达点，那么子图就是不连通的。

进一步，子图一定可以表示为2个图的并集G1+G2，G1包含所有的不可达点，G2包含当前点，G1和G2不连通。

对于G1，根据定理一可得，最多只有1个当前奇点，再根据定理二，一定没有当前奇点。

9，定理四：对于一个无奇点可行图，如果存在不可达点，那么所有的不可达点一定可以表示成若干个环。

直接用定理三即可得到。

10，形成了环的边：在一笔画的过程中，画了一部分，把已经走过的边去掉，对于得到的子图来说，

有的边可以和其他的一些边构成一个环，这样的边成为形成了环的边。

11，定理五：对于一个无奇点可行图，无论从哪个点开始，每次选择边的时候，都优先选择形成了环的边，如果有形成了环的边，那么肯定不止一条，这些边任选一条即可，如果没有形成了环的边，那么所有的边任选一条即可，最后一定能完成上图的一笔画。

实际上，如果按照这个规则来一笔画，如果没有形成了环的边，那么肯定只有一条边。

但是我没有把这个加入到上面的规则之中，这样上面的规则就是一个非递归的规则，比较好理解。

例如，在走过ADFAEDCFB之后，剩下AB、BC、CE、EB这4条边，当前点为B，因为BC和EB都是形成了环的边，而AB不是，所以BC和EB任选一条即可。

定理五的证明：（反证法）

如果不能一笔画，那么存在一条边ST，在走过ST之前（当前点为S），不存在不可达点，在走过ST之后，有了不可达点。

所以，走过ST之后S一定是不可达点。

根据定理四，S至少有1条边，连接着另外一个点K，而且SK形成了环。

因为走过ST之后S就变成了不可达点，所以ST一定不是形成了环的边。

这样，SK是形成了环的边，而ST不是，但是我们却选择了ST，这是不符合规则的。

所以，只要按照上述的规则来选择边，一定能完成一笔画。

有了定理五，现在可以描述标准型的规律了。

每次扭的时候，我们都会往较空旷的方向扭，实际上就是优先选择了形成了环的边，这样，最后就一定可以完成了。

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