一排石头的游戏

来自《编程之美》

N块石头排成一行，每块石头有各自固定的位置。两个玩家依次取石头，每个玩家每次可以取其中任意一块石头，或者相邻的两块石头，石头在游戏过程中不能移位（即编号不会改变），最后能将剩下的石头一次取光的玩家获胜。这个游戏有必胜策略吗？

这个题目和放硬币问题（点击打开链接）差不多

答案是先手有必胜策略。

拓展：

如果规定，最后取完所有硬币的人输，谁又有必胜策略呢？

先看看前面几个状态：

1是负态，2是胜态，3是胜态，4是负态

其实，先手第一次操作无非只有2类：

第一类，把n变成a和b，a+b=n-1或n-2

即留下左边的a个和右边的b个，取走1个或者2个

第二类，把n变成n-1或者n-2，即取走最左边的1个或者2个

对于第一类操作：

（1）如果a是负态

后手可以保证b那一块是后手最后拿完。

也就是说，后手可以保证，a那一块一定是先手先开始拿。

注意，我并没有说先拿完b，然后先手就只能拿a了，而是说，a和b是独立的，

既然后手可以保证b那一块是后手最后拿完，那么就可以保证，a那一块一定是先手先开始拿。

这样的话，后手就胜利了。

（2）如果b是负态，和（1）是一样的

（3）如果a和b都是胜态

显然后手就胜利了。

a和b是独立的，后手可以保证a是先手最后拿完，b也是先手最后拿完。

也就说，无论n是多少，如果先手采用第一类操作，就一定输了。

如果n-1或者n-2是负态，那么对应的取走最左边的1个或者2个，这就是必胜策略了，n就是胜态。

如果n-1和n-2都是胜态，那么n就是负态。

根据这个进行递推可以发现，

如果n=3k+1，那么后手有必胜策略，如果n=3k或者3k+2，那么先手有必胜策略。

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