目录

1，函数依赖

2，部分函数依赖、完全函数依赖

3，合成

4，原始递归

5，非原始递归——阿克曼函数

6，递归

1，函数依赖

函数依赖简单点说就是：某个属性集决定另一个属性集时，称另一属性集依赖于该属性集。

设X,Y是关系R的两个属性集合，当任何时刻R中的任意两个元组中的X属性值相同时，则它们的Y属性值也相同，则称X函数决定Y，或Y函数依赖于X。

2，部分函数依赖、完全函数依赖

设X,Y是关系R的两个属性集合，且存在X→Y，

若存在X’是X的真子集，使得X’→Y，则称Y部分函数依赖于X，

反之，如果不存在这样的X’，则称Y完全函数依赖于X。

3，合成

设 f 是 k 元部分函数，g1、g2、...、gk是 k 个n 元部分函数，令h(x1,...,xn)=f(g1(x1,...,xn),...,gk(x1,...,xn))

称函数h是由 f 和g1,...,gk 合成得到的。

4，原始递归

（1）设 g 是2元全函数，k 是一个常数，函数 h 由下述等式给出

h(0)=k,

h(t+1)=g(t,h(t))

称 h 是由 g 经过原始递归运算得到的。

（2）设 f 和 g 分别是 n 元和 n+2 元全函数， n+1 元函数 h 由下述等式给出

h(x1,...,xn,0)=f(x1,...,xn),

h(x1,...,xn,t+1)=g(t,h(x1,...,xn,t),x1,...,xn)

称 h 是由 f 和 g 经过原始递归运算得到的。

（3）加法、除法、阶乘、指数，找到第 n个素数等等是原始递归的，实际上，很难设计不是原始递归的函数。

5，非原始递归——阿克曼函数

Ackermann function：

unsigned int A(unsigned int m,unsigned int n) {
  if (m==0) { return n+1; }
  else if (n==0) { return A(m-1,1); }
  else { return A(m-1,A(m,n-1)); }
}

6，递归

递归包括原始递归和非原始递归。

原始递归函数可以用总是停机的图灵机计算，而非原始递归函数需要图灵完全系统。

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