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欧拉常数

用户已注销发表于 2021/11/19 01:46:22 2021/11/19

【摘要】目录 1，欧拉常数 2，欧拉常数其他形式 3，与Gamma函数的关系 1，欧拉常数证明右式有极限：设  则  所以有极限 2，欧拉常数其他形式证明： 3，与Gamma函数的关系（1）（2）

1，欧拉常数

2，欧拉常数其他形式

3，与Gamma函数的关系

1，欧拉常数

$r=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n\right)$

证明右式有极限：

$\because 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-+\frac{1}{n}<\int_{1}^{n} \frac{1}{x} d x+1=\ln n+1 \\ 1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}>\int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} d x=\ln (n+1) \\ \therefore 0<\ln \left(1+\frac{1}{n}\right) <1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n<1$

设 $a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n$

则 $0<\ln \left(1+ \frac{1}{n}\right)<a_{n}<1$

$a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{n+1}-\ln (n+1)+\ln n=\frac{1}{n+1}+\ln \left(1-\frac{1}{n+1}\right)<0$

所以有极限

2，欧拉常数其他形式

$r=\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) d x$

证明：

$\begin{aligned} &a_{n}=\int_{1}^{n}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) d x+\frac{1}{n} \\ &\therefore r=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{1}^{n}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) d x=\int_{1}^{+\infty}\left(\frac{1}{[x]}-\frac{1}{x}\right) d x \end{aligned}$